352 IL PASSATO E ir. PRESENTE DELLE PRIXCIPALl TEORIE GEOMETRICHE 



le coordinate di un punto nello spazio, e su tale dottrina mi sono intrattenuto nelle 

 pagine precedenti. Considerando invece una curva piana come una serie semplicemente 

 infinita di punti, si può estenderne la teoria togliendo la restrizione che questi stiano 

 in un piano: nasce allora la Teoria delle curve gobbe. 



Lo studio delle proprietà infinitesimali di queste si può fare abbastanza facil- 

 mente con metodi non molto dissimili da quelli che servono per le curve piane; per 

 questa ragione esso fu intrapreso, come già dissi, più di un secolo fa da Clairant, 

 e venne continuato di poi da Lancret, da Monge, da Tinseau, da Saint-Venant (1797- 

 1886), da Frenet, da Alfredo (1819-1885) e Paolo Serret, da Liouville, da Ber- 

 trand, da Puiseux (1820-1883), da Lie e da molti altri W. 



Ma, tolta questa categoria, lo studio delle altre proprietà generali delle curve 

 sghembe presenta gravissime difficoltà. Si opinò un tempo che ogni curva nello 

 spazio si potesse considerare come intersezione completa di due superficie e quindi rap- 

 presentare col sistema di due equazioni fra le coordinate di un punto nello spazio 2) ; 

 ma non si tardò a riconoscere l'esistenza di curve intersezioni incomplete di superficie 

 e la necessità di rappresentarle, non con due, ma con tre equazioni corrispondenti 

 ad altrettante superficie passanti per essa. Si suppose che la nozione di ordine fosse 

 sufficiente per classificare le curve gobbe: ma ben presto, arrivati al quarto ordine, 

 si riconobbe che essa non bastava (3). -Si credette che l'ordine e il numero de' punti 

 doppii apparenti fossero sufficienti per lo scopo suddetto; ma, giunti al nono ordine, 

 si vide di aver errato. Né un terzo numero (l'ordine minimo dei coni passanti per 

 le corde della curva uscenti da un punto) poteva aiutare se non per le curve d' 

 ordine inferiore al quindicesimo. Sicché si venne a concludere l'impossibilità di carat- 

 terizzare una data curva mediante un complesso deternainato di numeri assegnabili a 

 priori. 



Ho voluto citare questi fatti per mostrare come la Teoria generale delle curve 

 gobbe non presenti delle somiglianze con alcuna altra parte della Geometria, e, addi- 

 tando le formitlabili oscurità che presenta, dare al lettore il mezzo di trovare la 

 ragione per cui le cognizioni che abbiamo su questi enti siano poco numerose e di 

 origine recente. 



I primi risultati generali sulle curve a doppia curvatura sono dovuti a Cayley, 

 che dedicò ad esse due memorie importanti, in una delle quaU egli stabilì le formole 

 (analoghe a quelle di Pliicker) che collegano fra loro i numei'i delle singolarità di una 

 curva sghemba W, nell'altra suggerì per lo studio delle curve gobbe d'ordine n quelle 



(1) Maggiori particolari si troveranno nella nota (65^ dM' Analytische Geometrie des Raumes von 

 G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler (III Aufl., 1880) II Th., p. XXXVII. 



(2) Cfr. Magnus, Aufgaben, und Lehrsdtze, 1837, p. 160. 



(3) L'esistenza di due quartiche gobbe fu fatta conoscere prima dal Salmon nel 1850 {Cambridge 

 and Dubl. Math. Journal, t. V), e quindi da Steiner nel 1856 (G. di Creile, t. LUI). 



(4) G. di Liouville, t. X; oppure Cambridge and Dublin math. Journal, t. V. 



A questa Memoria fa seguito una pubblicata dal Salmon nel voi. V del Cambridge and Dublin 

 math. Journal e serve di complemento ad essa una stampata dallo Zeuthen nel voi. Ili della 2^ serie 

 degli Annali di Matematica. Si connettono ad essa aache gli scritti che Cayley [Phil. Transactions, 

 t. 153), PiCQUET (^C'jmpies rendas, voi. LXXVII e Bidletin de la Soc. math. de France,t. 1) e GeiSER 

 (Collectanea mathematica, 1881) dedicarono alle rette secanti un certo numero di volte una curva gobba. 



