862 Uj passato e il presente delle PEINCIPALl TEOKIE GEOMETRICHE 



il fine costante deiranalista. Non è quindi naturale il cercare d'introdurre similmente 

 nella Geometria pura delle trasformazioni analoghe, dirette alle figure proposte e alle 

 loro proprietà? > (^). 



VI. 



Geometria della retta. 



La Geometria greca considera il punto come l'elemento generatore di tutte le figure; 

 la Geometria analitica Cartesiana pone la determinazione del punto a fondamento di 

 tutti i suoi calcoli. Il principio di dualità condusse gli scienziati a concludere che 

 la retta nel piano e il piano nello spazio possono con egual diritto e egual successo 

 del punto far la parte che questo aveva fino allora sostenuta nella Geometria , e 

 guidò in conseguenza ad assumere la retta e il piano come elementi del piano e dello 

 spazio e a costruire un nuovo sistema di Geometria (sintetica e analitica). 11 merito di 

 questo notevole progresso è in gran parte dovuto a Pliicker (-). Ma a Pliìcker spetta 

 totalmente la gloria di avere introdotto un terzo elemento generatore degli enti a tre 

 dimensioni - la retta - e di aver hasato su tale considerazione una nuova Geometria 

 dello spazio. Questo illustre scienziato, dopo avere abhandonato durante quasi vent'anni 

 la Geometria per dedicare alla Fisica le sue poderose forze intellettuali, ritornò alla 

 Scienza che gli aveva assicurata per prima la fama, per dotarla di una nuova e im- 

 portantissima disciplina, la « Geometria della retta ». 



Le prime comunicazioni fatte su tale argomento nel 186.5 alla Società reale di 

 Londra '^^ dal grande geometra Tedesco, contengono gli enunciati di alcune proprietà 

 generali dei complessi, delle congruenze e delle rigate, e di alcune proprietà particolari 



(1) Allo studio generale delle trasformazioni, segue quello delle trasformazioni che si prefiggono 

 un determiuato scopo (cfr. Magnus, Sammtung v. Auf. u. Lehr., 1833, p. 188 e 198) ; p. e. quello di mutare 

 iu sé stesse certe figure o di ricondurre alla figura primitiva quando vengano applicate parecchie volte 

 di seguito. E infatti esistono già parecchi bei lavori in cui sono studiate le omografie e le correlazioni 

 che mutano in sé stessi una quàdrica o un complesso lineare (cf un lavoro del Segre nel v. XXXVII 

 della 2* serie delle Mem. dell'Accademia di Torino] o una cubica gobba (Sturm, Math. Annaletì, 

 t. XXVI ; .Montesano, ,1/em. dei Lincei, 1886) e sulle proiettività cicliche (Lììroth, Math. Ann., t.XIlI; 

 ScHRÒTER, ib., t. XX; Veronese, Mem. dei Lincei, 1881). Riuniamo a questi i lavori del Rosanes 

 {Journal fùr Math., v. LXXXVIII a C); dello Sturm [Malhem. Annalen , t. 1, VI, X, XII, XV, XIX, 

 XXII e XX.VII ; e del Pasch (Math. Annalen, t. XXIII e XXVI); e quelli pure recenti dello Stephanos 

 (Math. Annalen, t. XXII); di H. Wiener {Rein geometrische Theorie der Darstellung binàren Formen 

 durch Punkigruppen auf der Geraden, Darmstadt, 1885); del Seore {Memorie di Torino, serie II, 

 voi. XXXVIII e .lournal fur Mathemalik, t. C i e del Sannia {Lesioni di Geometria proiettiva, in corso 

 di stampa a iSapoli ) sulle omografie e le correlazioni. 



Accanto alle corrispondenze suddette si possono porre quelle fra uno spazio di punti ed uno di 

 piani aventi la proprietà che per ogni punto passano i piani che gli corrispondono, e su ogni piano 

 stanno i punti che gli corrispondono; considerati insieme i due spazi costituiscono un sistema nullo 

 d'ordine superiore. La teoria di questi sistemi è sorta in questi ultimi anni per opera del Reye {.lourn. 

 f.Math., t. LXXXII', dello Sturm Math. Annalen, t. XIX), dell'AMESEDEK Journal fiir mathem., t. XCVII) 

 del Voss [Math. Annalen, t. XXIII). 



l2) (c Sino ai tempi moderni, il metodo analitico, quale Cartesio l'aveva creato, si sosteneva per 

 così dire su un solo piede. A Pliicker era riserbato l'onore di collocarlo su due sostegni eguali in- 

 troducendo il sistema di coordinate complementare. Però questa scoperta era divenuta inevitabile 

 dopoché si erano introdotte nello spirito dei matematici le profonde vedute di Steiner i>. Stlvester, 

 Phil. Magasine, serie 3=, voi. XXXVII, 1850, p.363. 



i3j V. Philosophical Transactions, 1865, p. 725 e 1866, p. 361. 



