364 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOHETRICHE 



le ricerche che egli lasciò incompiute furono portate a termine dal suo discepolo 

 F. Klein (!'. Al quale dobbiamo non solo la nozione generale di coordinate di rette 

 e una quantità di teoremi bellissimi sui complessi di secondo grado, ma varie idee 

 generali e straordinariamente feconde sulla Geometria della retta. Infatti è Klein che, 

 precisando un concetto del suo maestro, notò che la Geometria della retta può riguar- 

 darsi come lo studio di una varietà quadratica a quattro dimensioni contenuta in 

 uno spazio lineare a cinque dimensioni, e dimostrò essere ogni complesso rappresen- 

 tabile con un'equazione unica fra le coordinate di una retta. Che quell'osservazione 

 e questo teorema siano di massimo momento per il progresso della Geometria della 

 retta, fu splendidamente dimostrato dalle belle ricerche del mio amico carissimo Cor- 

 rado Segre ("- , le quali sono intimamente legate a quelle di Klein. 



Contemporaneamente a Klein , il Pasch (3 , lo Zeuthen W e il Drach (5), piii re- 

 centemente il De Paolis |0), si occuparono a varie riprese della Geometria della retta, 

 trattandone diverse questioni mediante coordinate omogenee ; Clebsch '') applicò a 

 questa Teoria il metodo della notazione abbreviata; nel 1873 il Weiler (^ compiè la 

 classificazione dei conqdessi di secondo grado secondo i concetti che Klein aveva in- 

 dicati nella sua Dissertazione di laurea ; Yoss in una serie di memorie importantissime, 

 studiò le .singolarità dei .sistemi di rette (9) ; Halphen determinò il numero delle rette dello 

 spazio che soddisfano a condizioni prestabilite (W); Nother 'H), Klein ('2; e Caporali (^3) 

 si occuparono della rappresentazione sullo spazio ordinario dei complessi di primo e 

 secondo grado; il pi'of. Aschieri di quella di alcuni particolari complessi ^^): il Lie mise 

 in luce la strettissima connessione che esiste fra la Geometria della sfera e la Geome- 

 tria della retta '1>^'; il Reye infine studiò le forme dei complessi quadratici generali (l^J. 

 Con i soli soccorsi della Geometria sintetica questa teoria fu studiata da Chasles - fin 

 dal 1839 -:1T!, dal Eeye (1«), dallo Schur ,19), dal Bertini (20), dal d' Ovidio (2') e da 



(1) Il/ath. Annalen, 1. 11, V, VII e XXVIll, Inoltre molti dei lavori di Klein su questioni di Al- 

 gebra superioi'e o di alta Analisi — pubblicati nei Malematische Annalen e separatamente — conten- 

 gono assai spesso delle considerazioni appartenenti alla Geometria della retta. 



(2) Meni, dell' Accademia di l'orino, serie 2', t. XXXVI. 



(3) G. di Creile, ì. LXXV e LXXVi ; e Habilitationsschrift (Giessen, 1870). 



(4) Malh. Annalen, 1. 1. 

 ^5) Math. Annalen, t. II. 



^6^ Memorie dell' Accademia dei Lincei, 1884-85. 

 (7) Matk. Annalen, t. II e V. 



(8; lìtatk. Annalen, Bd. VII. >'oa si può a meno di deplorare che il lavoro del Weiler, pregevole 

 per varie ragioni, contenga un gran numero di inesattezze. 



(9) Math. Annalen, t. Vili, IX, X, Xil e XIII. V. anche Schubert, D/uth. Annalen, t. XII, e Ab- 

 zàhlende Geometrie. 



(10) Comptes rendus. Dicembre 1871 e Gennaio 1872. 

 (11; GòUinger Nachrichten, 1869. 



(12) Ibidem. 



(13) Memorie dell'Accademia dei Lincei, 1877-78. 



(14) G. di Matematiche, voi. Vili. Rendiconti del R. Istituto Lombardo, serie II, voi. 12, 13 e 14. 

 (15 Math. Annalen, t. V. Cfr. una Memoria del Cremona letta all'Accademia dei Lincei il 



G giugno 1875 [Atti, serie 11, t. 111). 



(16j Journal fur Mathematik, voi XCVIll. Cfr. anche voi. XCV e XCVII. 



(17) Journal de Liouville, t. IV. 



(18) Die Geometrie der Lage (Il Aufl.) , lu cui si trovano riassunti i lavori del Rete sulla Geo- 

 metria della retta pubblicali nel G. di Borchardt. 



(19) Inaugiiral-dissertation Berlin, 1879), oppure Math. Annalen, t. XV. 



(20) G. di Matematiche, v. XVII; Rendiconti dei Lincei, 1879. 

 (21 Atti di Torino, 1881. 



