366 IL PASSATO E IL PRESENTE DELLE PRINCIPALI TEORIE GEOMETRICHE 



del sistema , le configurazioni che esse formano , la connessione fra esse e le sin- 

 golarità della superficie focale, ecc., ecc. Ma poiché l'angustia dello spazio mei 

 vieta, mi limiterò ad esprimere il voto che questo mio rapido accenno sia capace di 

 far nascere in qualcuno il desiderio di conoscere direttamente le ricerche di Kummer 

 e proseguire nella via che egli con tanta fortuna ha battuta; lo esprimo perchè sono 

 dolorosamente colpito dalla osservazione che nei ventanni che ornai decorsero dalla 

 comparsa dei lavori del Kummer, non si sia ancora riusciti a fare avanzare in modo 

 notevole una Teoria che pur mostravasi tanto feconda di bei risultati (*). 



VII. 



Geometria non euclidea. 



L'ultima categoria di lavori della quale è del mio compito l'occuparmi, com- 

 prende una serie di ricerche che diedero luogo a vivaci discussioni, e - strano a dirsi ! - 

 divise per qualche tempo i matematici in due campi « l'un contro l'altro armato » 1^); 

 oggi esse formano quelle parti della Scienza dell'estensione che si chiamano « Geometria 

 non euclidea » e « Teoria delle varietà comunque estese » o « Geometria a n di- 

 mensioni » '3'. 



Nessuno ignora che fra tutte le proposizioni contenute negli Elementi di Euclide, 

 una ve n'ha (^) che a stento ci si adatta a porre, come fa il geometi'a Greco, fra 



(1) I lavori finora comparsi, cbe sono da riguardarsi come proseguimento di quelli di Ku.mmek, 

 o condussero |}er altra via ai suoi risultati — Reve (Journal fùr Mathem., t. LXXXVI e XCIIl), 

 HiRSTH (Lond. nialh. Society, v. XIV), Stahl (v. la nota (li della pag. prec), Caporali (Rendiconti 

 dell'Accademia di Napoli, nov. 1879), Loria (Atti di Torino, 1884 e 1886) — o aggiunsero a questi 

 qualche nuova formola o qualche nuovo sistema algebrico — Kummbr 'Berliner Monatsberichte, 1878), 

 Masoni (Rendiconti dell'Accademia di Napoli, voi. XXII), Roccella (nota (11) della pag. prec), 

 HiRST [Proceedings of the London malli. Society, voi. XV] e XV!I; Rendiconti del Circolo matematico 

 di Palermo, v. I); Sturm (Math. Annalen, t. VI e Journ. f. Math., t. CI). 



2 A dimostrare che le questioni a cui si riferiscono questi lavori fecero perdere ad alcuni 

 scienziati quella serenità e imparzialità di giudizio che dovrebbero sempre presiedere alle loro discus- 

 sioni, riporterò qui due brani tolti l'uno da un autore ben noto ai cultori della Filosofia, l'altro da un 

 giornale molto diffuso in Germania: 



« ... so gewiss ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fiinf Dimensionen noch Raum 

 zu nennen. Gegen allo solche Versuohe muss man sichwahren; sie sind Grimassen der Wissenschaft, 

 die durch vòllig nutzlosen Paradoxien das gewohnliche Bewusztsein einschiichtern und ùber sein gutes 

 Recht in der Begrenzung der Begriffe tàuschen ». Lotze, Logik, p. 217). 



« Die absolute oder nicht-euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes, und die 

 Lehre von n Raumdimeusionen sind entweder Karrikaturen oder Krankheitserscheinungen >•. (J. Gille.s, 

 Bldtter far das Bairische Gymnasial — und Realsckulwesen, Bd. XVIII, p. 423). 



Si veggano anche lo vivaci espressioni del Dììhrlng trascritte dall'.ERDMANN nella sua pregevole 

 monografia Die Axiome der Gaome^ng (Leipzig, 1877, p.SS) e i capitoli XIII e XIV dell'opera Stallo, 

 La malière et la physique moderne Paris, 1884). 



Ad obbiezioni del genere di quelle citate, noi risponderemmo con D'Alembert: « Allez en avant 

 et la foi vous viendra ! ■> . 



!3) Per la bibliografia di questa parte della Geometria si veggano gli articoli di G. Bruce 

 Halstbd, pubblicati nei voi. 1 e II deW American Journal of Malhematics. 



(4) Eccone l'enunciato: « Se una retta, cadendo sopra due altre, fa gli angoli interni da una 

 stessa parte la cui somma sia minore di due retti, quelle due prolungate da questa parte s'incon- 

 treranno ». 



