MONOfiRAFIA STORICA DI GINO LORIA 367 



gli assiomi o fra i postulati '0. Essa è di grande importanza nel sistema Euclideo, 

 perchè su essa può dirsi fondata tutta la Teoria delle parallele. E poiché essa non 

 è di intuizione tanto immediata che sia giustificato l'annoverarla fra quelle di cui è 

 vano pretendere una dimostrazione, si venne a domandarsi se sia effettivamente in- 

 dimostrabile, e, in caso affermativo, se non sia possibile sopprimerla e sostituirla con 

 altra la cui verità sia più palese. 



Queste domande sono un portato naturale dell'epoca nostra, di cui (come nota 

 Humboldt) uno dei caratteri più spiccati è la critica imparziale di tutto il retaggio 

 del passato ; esse debbono riguardarsi come l'origine prima della Geometria non 

 euclidea. 



I primi studii importanti su questo argomento furono fatti sulla fine del secolo 

 scorso da Legendre (2); essi misero in cliiaro la connessione esistente fra il postulato 

 di Euclide ed il teorema relativo alla somma degli angoli di un triangolo , e con- 

 dussero Legendre , non solo a proporre di sostituire questo postulato con altro più 

 chiaro , ma anche di abbozzare una Geometria indipendente dal postulato mede- 

 simo 1.3). 



Presso a poco nello stesso tempo di Legendre, Gauss studiò la stessa questione : 

 quantunque egli non abbia mai pubblicato alcun lavoro su tale argomento, la sua 

 corrispondenza con Schumacher CO e con Wolfang Bolyai (1775-1856) (^'^ e alcuni suoi 

 articoli bibliografici l''^ fanno fede non solo dell'interesse che egli vi prendeva, ma anche 

 della larga messe di verità che egli aveva mietuto in questo come negli altri campi 

 da lui coltivati. E, quando comparvero gli scritti su tale argomento di Lobatschewsky 

 (1793-1856) C^) e Giovanni Bolyai (1802-1860) («), il principe dei matematici Te- 

 deschi sanzionò colla sua autorità i risultati che questi avevano ottenuti. Tali ri- 

 sultati possono riassumersi dicendo che essi furono la base di una nuova Geometria 

 totalmente indipendente dal postulato d'Euclide (la Geometria non-euclidea o imma- 

 ginaria ed anche Pangeometria) , la quale concorda in certi punti coH'ordinaria Geome- 

 tria, ma se ne discosta in molti altri ; Geometria che alcuni vollero un tempo bandita 



(1) Un tempo credevasi che la proposizione in discorso fosse stata da Euclide ascritta fi a gli 

 assiomi ; ma ricerche storiche recenti (v. Hankel, Vorlesungen uber complexe Zahlen und ihre Fu-n- 

 ctionen, I Thl., p. 52) inclinano a far credere che essa sia stata per errore di ricopiatori ascritta fra 

 gli assiomi, mentre in origine stava fra i postulati. 



(2) Cfr. gli Elementi di Matematica del Baltzbr. Parte IV, Planimetria. 



(3) Nai-rasi che Laqrange avesse osservato essere la Geometria sferica indipendente dal postulato 

 di Euclide, e che egli sperasse trarre da questa osservazione il modo di ovviare agli inconvenienti 

 del metodo euclideo, col riguardare la Geometria piana come la Geometria su una sfera di raggio 

 infinito. 



(4) Cfr. la traduzione francese fatta nel 1S66 dall' Hoìiel delle Georn. Untersuchungen di Lo- 

 batschewsky. 



(5) V. la Memoria commemorativa di Gauss inserita dallo Schbring nel voi. XXII delle ^6/ian- 

 dlungen di Gottinga (1877). 



(6) Gotiingische gelehrte Ameige, 1816 e 1822; oppure Werkb, t. IV (1873;, pag. 364 e 368. 

 Cfr. anche Sartobius von Walterhausen, Gauss, zum Gedàchtniss (Leipzig, 1856), p.8i. 



7) Corriere di Kasan 1829-30. Mem. dell'Università di Kasan , 1835-36-37-38. Geometrische 

 Untersuchungen uber die Theorie der Parallellinien (Berlin, 1840". G. di Creile, t. XVII. 



(8i Lo scritto di G. Bolyai apparve come appendice all'opera di W. Bolyai Tentamen juventutem 

 studiosam in elementa matheseos purae ecc., t. il (Maros-Vàsàrhelyni 1833); fu poi tradotta in fran- 

 cese dall' HoiiEL [Mém. de Bordeaux], in italiano dal Battaglini (G. di Matematiche, t. V). 



