MONOGKAFIA STORICA DI GINO I.OEIA 369 



in questi ultimi tempi nel modo di riguardare le proposizioni che stanno a base di essa (^'. 

 Se prima i geometri lasciavano ai filosofi la cura di discutere se le verità di cui si occu- 

 pavano fossero necessarie oppur contingenti, e inclinavano ad ammetterle come neces- 

 sarie; dopo, riconosciuta la base sperimentale della Geometria, si studiarono senza 

 posa di determinare esattamente quali fatti si debbano domandare alla testimonianza 

 dei sensi per fondare una Scienza dell'estensione 2). Cbi legge le belle Vorlcsmigen 

 iiber neuere Geometrie del Pasch, esamina i trattati più recenti, e quelle e questi con- 

 fronta con libri più antichi, noterà delle differenze sostanziali. Nelle antiche opere il 

 maestro dà le proposizioni che non dimostra come verità necessarie, eterne, indiscu- 

 tibili; nelle nuove egli guida, per così dire, il discente a eseguire le esperienze ne- 

 cessarie per stabilire le premesse alle ulteriori deduzioni. Nelle antiche l'autore espone 

 la Geometria euclidea come l'unica immaginabile; nelle nuove come una delle infinite 

 che fondar si potrebbero. E queste differenze segnano un effettivo progresso, perchè 

 dimostrano che gli scienziati si liberarono da un inveterato e dannoso preconcetto; e 

 per l'avanzamento della Scienza il riconoscere un errore non ha certo minore impor- 

 tanza dell'acquistare una verità. 



Non molto dopo la comparsa del lavoro del Beltrami, ne usci uno del Klein (•^) 

 che ha pure una grande importanza ; ma per determinare il posto che esso occupa nella 

 storia della Geometria non euclidea, mi è d'uopo tornare indietro di qualche decennio. 



È noto che, in seguito al Traité des propriétes projectlves des figures, si sta- 

 bil'i una distinzione netta fra le proprietà delle figure che si conservano quando queste 

 vengano proiettate e quelle che non si conservano; è pur noto che fra le prime sono 

 comprese tutte le proprietà descrittive , ma solo alcune proprietà metriche. Ora , i 



(1; Si confrontino le parole con cui D'Alembert respinge l'opinione che le verità della Mecca- 

 nica siano sperimentali {Traile de Dynamique, Paris 1758; Discours próliminaire, pag. XI!) con le 

 seguenti del Clikfokd [Il senso comune nelle scienze esatte, Milano 1886, p. 270): « Nel modo stesso 

 che, per fabbricare la teoria di un ramo di fisica, partiamo dall'esperienza, e fondiamo sui nostri 

 esperimenti un certo numero di assiomi, che ne formano in tal modo la base, cos'i gli assiomi, che 

 prendiamo a base della geometria, per quanto meno palesemente, sono realmente un risultato della 

 esperienza ». 



(2) Noterò che chi legge V Jusdehnungslehre del grande geometra e filologo Tedesco GbaSsmann 

 vede con sorpresa che egli era giunto fino dal 1844 a conclusioni non molto dissimili da quelle rias- 

 sunte nel testo: ma chi non sa che, per venire apprezzata, quest'opera eminente ha bisogno che 

 altri giunga per altra via alle molte originalissimo verità che contiene? 



E qui mi sembra opportuno dare una spiegazione che serva a giustificarmi. 



In questa breve storia delle battaglie che i geometri combatterono in questi ultimi tempi, mi 

 accadde poche volte e sempre di sfuggita di nominare lavori di Grassmann, nò credo mi avveiTà di 

 pronunciare pili questo nome. Ora ciò non vuol dire che questo geometra non sia degno di menzione, 

 che le sue scoperte e i suoi metodi non meritino di essere conosciuti; ma gli è che il formahsmo in 

 cui egli involse i suoi concetti, rendendoli inaccessibili ai più, tolse loro pressoché ogni facoltà di 

 esercitare qualche influenza. Grassmann fu un solitario nella Matematica per gran parte della sua 

 vita (solo negli ultimi suoi anni pgli si occupò di presentare alcune sue produzioni in veste moderna 

 per dimostrarne l'affinità con quelle dei suoi contemporanei;, ond'è naturale che raramente accada di 

 nominarlo a chi si prefisse di descrivere le conquiste fatte grazie agli sforzi collettivi dei geometri 

 moderni. 



Sui meriti scientifici di Grassmann si vegga un articolo del Cremona nei Nouvelles Annales del 

 1860, il voi. XIV dei Mathematische Annalen e il tomo XI del Bulletlino di Bibliografia e di Storia 

 delle Sciente matematiche. 



{3) Ueber die so-ijenannte Nichi- Euklideische Geometrie. Math. Annalen, t. IV. 



Serie II. Tom. XXXVIII. ^' 



