MONOGRAFIA STORICA DI GINO LORIA 371 



Vili. 



Geometria a n dimensioni. 



La Teoria delle varietà comunque estese, o Geometria a n dimensioni, deve la 

 sua origine all'aiuto che l'Algebra ottenne dalla Geometria dopo che Cartesio insegnò 

 ad applicare quella a questa. Infatti questo aiuto è limitato, perchè soltanto i fatti 

 analitici connessi alla Teoria delle funzioni a una, due o tre variabili (o alla Teoria 

 delle forme binarie, ternarie o quaternarie) sono suscettibili di rappresentazione sensi- 

 bile. Ma lo spirito di generalizzazione che, come già notai, fu, e non cessò di essere. 

 uno degli stimoli più potenti alle ricerche geometriche moderne, spinse i geometri a 

 frangere i ceppi che la natura pai-eva avere imposti alle loro facoltà immaginative, e a 

 parlare di spazii comunque estesi (1). E ne parlarono senza preoccuparsi della questione, 

 più filosofica che matematica, se esistano effettivamente tali spazii; e a ragione lo 

 fecero, poiché cos'i, senza affrontare un problema forse insolubile, essi raggiunsero il 

 loro scopo; con un gagliardo sforzo d'immaginazione, si procurarono le rappresentazioni 

 (sensibili o soprasensibili) di molti risultati analitici (2). 



E a dimostrare che a questa teoria siasi pervenuti nel modo indicato, mi basterà 

 citare il fatto che essa fu stabilita da analisti quali Cauchy (3) (1789-1857) e 

 Riemann (*) ; che s' incontra in molti altri minori più o meno sviluppata , nell' in- 

 tento di ottenere enunciazioni più espressive di teoremi d'Analisi ; e che Lagrange notò 

 fin dallo scorcio del secolo passato che « si può considerare la Meccanica come una 

 Geometria a quattro dimensioni » in cui il tempo funge da quarta coordinata (5). 



Ma questo concetto di spazio comunque esteso è , per la sua origine e pel 

 suo fine, essenzialmente analitico. A Pliicker, cui il destino concesse una parte così 

 importante nella moderna Geometria, era riserbato di adornarlo con una veste geo- 

 metrica, osservando che al nostro spazio si può attribuire un numero qualunque di 

 dimensioni, mediante un'opportuna scelta dell'ente geometrico che si considera come 

 elemento generatore di esso; cos'i, esso avrà tre dimensioni se si sceglie il punto o il 

 piano, quattro se si prende la retta o la sfera, nove se si prende la quàdrica, e 

 cos'i via (^). 



(1) Il prodotto di due linee è una superficie, quello di tre un solido; qual è rimagine geo- 

 metrica del prodotto di quattro? I geometri analisti dell'epoca cartesiana lo espressero colla parola 

 « ipersolido » (sursolide), che s'incontra nei loro scritti; essi quindi si possono considerar' come 

 griiiiziatori dell'indirizzo accennato nel testo. 



(2 V. Cayley, a memoir on abstract Geometry (Phil. Trans., 1870). Cfr. anche Cambridge and 

 Dublin Math. Journal, t. IV, 1845. 



(3) Comptes rendus, 1847. 



(4) Inoltre sembra fuor di dubbio che Gauss avesse delie idee estese e precise anche sulla Geo- 

 metria a pili dimensioni: cfr. Sartorius von Waltkrhausen, 1. e, p. 81. 



(5; Théorie des fonctions analytiques (Paris, Prairial an V, p. 223). 



(6) Non mi è permesso tacere che, fin dal 1827, MòBius aveva visto come, ammettendo l'esi- 

 stenza di uno spazio a quattro dimensioni, si venisse a togliere un'inesplicabile differenza fra il piano 

 e lo spazio : tale differenza consiste in ciò che, mentre due figure piane simmetriche rispetto a una 



