MONOGRAFIA STORICA DI lilNO LORIA 373 



ed Eulero; infine la generalizzazione data dal Lipschitz al celebre problema di tre 

 corpi ^). Per terminare richiamerò l'attenzione del lettore sulle ricerche di Hoppe (^), 

 Schlegel (3), Scheffler ('* , Rudel '^', Stringham i^i e altri sui corpi regolari dello spazio 

 a quattro dimensioni, le quali furono portate tanto innanzi da permettere allo Schlegel 

 la costruzione di modelli delle proiezioni di quei solidi sul nostro spazio ;"). 



Oltre a questa direzione, un'altra uon meno feconda fu seguita dagli studiosi delle 

 varietà a u dimensioni, la iiuale è proiettiva mentre la prima è essenzialmente metrica. 



Un breve cenno dato da Cayley nel 184G (§) di un metodo per studiare le 

 configurazioni di puuti, rette e piani si può riguardare come quello che additò questa 

 nuova direzione. Ma, come osservò Bailly (9), « sembra che le idee abbiano, come 

 noi un'infanzia e un primo stadio di debolezza; esse non sono produttive sin dalla 

 loro nascita, ma ricevono dall'età e dal tempo la loro virtù feconda ». Sicché noi 

 vediamo passare più di trent'anni prima che. il gemale pensiero del grande geometra 

 Inglese convenientemente sviluppato, dia origine alla Geometria sintetica degli spazii 

 a n dimensioni che oggi possediamo. 



Questa comincia colla memoria che il prof. Veronese consacrò allo Studio delle 

 proprietà proiettive degli spazi a n dimensioni mediante i principii di proiezione 

 e sezione {^^K Nella quale il chiaro autore, seguendo Riemann , genera uno spazio 

 a n dimensioni proiettandone uno avente una dimensione di meno da un punto esterno ; 

 e servendosi di tale generazione riesce ad estendere la maggior parte delle teorie del- 

 l'ordinaria Geometria di posizione C"'. 



La fecondità dei principii esposti in questa fondamentale memoria fu messa in 

 luce dai molti interessanti lavori che faimo seguito ad essa, i quali vanno ogni giorno 

 aumentando una dottrina in cui l'Italia occupa un posto eminente. Fra essi citerò 



(1, Aggiungerò che il Mehler fece, nel voi. LXXXIV del G. di Borchardt , un'applicazione 

 della considerazione di uno spazio a quattro dimensioni alla ricerca dei sistemi tripli di superficie 

 ortogonali. 



(2 Grunert's Jrchw., Thl. LXIV e LXVH. 



(3) yoi-a A:ta der Leop. Carol. Akad., BJ. XLIV. 



[4; Die polydimensionalen Grossen und die volhommenen Primzahlen. 



(5) Von Eorper hohere Dimensionen. 



(6) American Journal, t. 111. 



(!) Questi formano una delle più curiose fra le Serie di modelli publicati dal Brill. 



(8) G. di Creile, t. XXXI, p. 213. 



Dalla lettura delle poche pagine che formano la Memoria del Caylbv si trae la peisuasione che, 

 fin dal 1846, egli avesse vista chiaiamente l'utilità che poteva arrecare all'ordinaria Geometria di 

 posizione, la considerazione di spazi a più dimensioni. 



(9 Hisloire de V Aslronomie moderne, t. 11, p. 60, 



(10) Math. Annalen, t. MX. 



(11) Fra le ricerche consegnate nella Memoria del prof. Veronese, sono degne di speciale men- 

 zione quelle sulle configurazioni, le forinole — estensione di quelle di Plùcker e di Cayley - che 

 coUegauo le singolarità ordinarie di una curva in uno spazio a n dimensioni, la generazione con 

 sistemi proiettivi di superficie contenute in tali spazi e l'applicazione di essa allo studio di alcune 

 superficie del nostro spazio ; non posso passar sotto silenzio gli studii sugli spazii lineari contenuti 

 in una quàdrica ad n dimensioni , che il Veronese fece per estendere alcuni teoremi di Cayley 

 (Quarlerly ./oMrna/ , v. XIl , adoj.erando la proiezione stereografica generalizzata da Klein (/»/a(/i. 

 Ann., t. V;, né parecchi importanti risultati sulle curve, ad alcuni dei quali era però già arrivato il 

 Clifford [Phil. Transaclions, 1878, per altra via. 



