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niant la somme N qui surpassent p, nous aurons N = 2N, — n,m -{ — , 



et substituant ces valeurs, l'équation (56) deviendra 



22r = mnpq -t- 2»(M, — ninm, ■+- 2nN, — mnn, , 



d'où il résulte que le nombre mnpq — mimit- — j«hh, est pair. Donc le 

 nombre pq — m, — », sera pair aussi, puisque mn est impair : donc les 

 deux nombres ?/t, + «, et pq seront tous deux pairs ou tous deux im- 

 pairs, ce qui est le lemme dont M. Gauss a fait usage dans le tom. IV des 

 Com. soc. Golting. récent. En le combinant avec les équations (- ] = ( — ^1)'"S 

 |-| = ( — l)"i, lorsque m et n sont premiers, on a tout de suite la loi 

 de réciprocité ('^) [yj = (— 1 r'. 



Représentons enfin par P la somme des quotients de mx divisé par n, 

 X étant = 1 , 2, 5, ... 7, et par Q la somme des quotients de ny divisé 

 par m, y étant = 1 , 2, 5, ... /j : on aura 



X = 1 y = I 



D'ailleurs mx + ny sera toujours < mn , et par conséquent le reste r sera 

 = mx -\- ny, d'où l'on conclut 



On pourra donc transformer l'équation (ÔG) en 



x = q y=p fl(q-^i) P{P+^) 



(2;j — H() 2 _ WJ- -+- (2f/-)() 2 _ ny=mnpq — mnV — mnQ—m — — w , 



X — 1 y — I ^ — 



ou, mettant les valeurs des sommes indiquées dans le premier membre, 

 remplaçant 2p — m et 27 — n par — 1, réduisant, et divisant parmn, en 

 P-f Q = pq. Cette formule exprime un autre lemme de M. Gauss, qu'il 

 a démontré dans le tome XVI des anciennes Commenialiones soc. Golting., 

 et que M. Schaar a rappelé dans sou mémoire du 5 août 1848 {Mém. 

 couronnés, etc, par l'Académie roy. de Belgique, tom. XXIII). 



La formule (19) peut fournir plusieurs autres résultats. En suivant la 



