DES RESIDUS QUADRATIQUES. 25 



m — -l 



même marche, on pourra faire b = mn, a = mx^ -{- ny-, p 

 q = — ^;— , x=\, 2, ... (j, ïj =^ 1, 2, ... p : or, si l'on suppose que m et n 

 soient deux nombres premiers de la forme 4A; + o , et que m est un résidu 

 quadratique de n, en nommant R la somme des résidus quadratiques de 

 m inférieurs à m, et R, la somme des entiers inférieurs à mn qui sont 

 résidus de n et non-résidus de ?«, on trouvera 



2R / 2R, 



/> = — pq 



m \ mn 



Dans le même cas , en nommant f le nombre des résidus pairs et y le 

 nombre des résidus impairs de m inférieurs à m, en distinguant pareille- 

 ment les nombres pairs et les impairs parmi les entiers inférieurs à mn , 

 résidus de n et non-résidus de m, et nommant f, le nombre des pairs, j/, 

 le nombre des impairs, on tirera de la dernièi'e des formules (21) 



f-'j = - (A-!/.)- 



Si maintenant on suppose que m est un nombre premier de la forme 

 M + 5, et » un nombre premier de la forme 4/^ -{- 1, et que R désigne 

 la somme des résidus quadratiques de m inférieurs à m, et r^ représente 

 tous les entiers inférieurs à mn qui sont résidus des deux nombres m et n, 

 ou non-résidus de l'un et de l'autre, la formule (19) donnera les résul- 

 tats suivants : dans le cas, où m sera un résidu de n, on aura 



r ^ / 2R \ 



2 col. — ^ = — 2 V^mn — '- — pq ] , 

 mn \ nm I 



en nommant Rj la somme des résidus de m et n inférieurs à mn ; dans le 

 cas où m au contraire sera un non-résidu de n, on aura 



r,' ,, — r2R, 2R 



2 cot. — = — 2 Vmn P9 -^ /' ■ 



mu L mil m J 



R, désignant la somme des non-résidus de m et n inférieurs à mn. Dans 

 ces deux formules le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de r,. 



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