26 SUR LA THEORIE 



YIII. 



Les formules que nous avons démontrées pour des nombres premiers 

 peuvent être étendues à des nombres composés. Je vais en donner un 

 exemple sur la première des formules (26). 



Soit n un nombre impair, non divisible par des cari'és : les entiers 

 premiers à n et inférieurs à n vérifieront l'une ou l'autre des conditions 

 (-1 = + 1 , (-) = — 1 5 et en désignant par r ceux qui vérifient la pre- 

 mière, par r' ceux qui vérifient la seconde, et supposant n de la forme 

 AI; -f- 5, on aura la somme alternée, étendue à tous les r et les r'. 



2r.T . 2rV ,- 



(37) 2 sin. — 2 sm. ■ = vn. 



Il n 



Si n est de la forme Ak -|- 1 , en posant /> = 4h , on pourra partager 

 en deux groupes les entiers premiers à. b et inférieurs à b, de manière que 

 les nombres d'un groupe étant désignés par r, et les autres par r', l'é- 

 quation (57) ait lieu pour b, c'est-à-dire en y remplaçant n par b. De plus, 

 les mêmes choses subsisteront, quelle que soit la forme de n, si l'on 

 prend /> = 8n. Ces propositions ont été démontrées par M. Cauchy dans 

 le tom. XVII des Mémoires de l'InslikU. 



Supposons maintenant, que dans la formule (19) la valeur b soit, sui- 

 vant ces diverses hypothèses, n. An, ou Sn, et que celle de a soit r ou r' : 

 la formule (19), dans laquelle on remplacera r par a, puisque n < b, 

 peut être mise sous la forme 



' = ''' '■liciT i- 



[h — n) = — 2 2 sin. col. — 



et nous en déduirons 



'=''' / 2iVs-\ *V 



2r — 2 (6 — /•) = — 2 2. 2 sin. -— cot. - 



1 z sin. — — 



b 



2r' - 2 ( 6 - r') = — 22 2 sin. col. - • 



" = i \ b I b 



Mais remarquons que le nombre b — r sera l'un des r' , et le nombre 



