DES RESIDUS QUADRATIQUES. 27 



h — ?■', l'un des »■; remarquons aussi, que si dans l'équalion (37) on sub- 

 stitue ir, h' à r, r' , le second membre deviendra ( J ^n, ou zéro, sui- 

 vant que î sera ou ne sera pas premier à n. D'après ces remarques, en 

 combinant par soustraction les deux dernières équations, et représentant 

 par R la somme des r, par R' la somme des r' , on obtiendra 



H-R' = -2(^)c«.. f ^/^ 



où le signe 1 doit s'étendre à tous les nombres i compris dans la suite 

 1, 2, 5, ... // et premiers à b. On peut étendre ce signe à tous les nombres 

 1, 2, 5, ... b, qui seront premiers à b, en doublant le premier membre, cai- 

 on aura 



/b — i\ I i\ {b — i)!r ITT 



et par suite 



Mais on aura aussi 



b — i\ {b — *)t / i 



cot. = - ) cot. , 



b \bl b 



r \ r T r \ vt 



— cot. — = - cot. — , 

 b I b \bi b 



puisqu'on peut supposer r' = b — r; en outre ijj = 1. On pourra donc 



mettre 22 cot. y à la place deli'-j cot. ^ , et substituant n à b, il vien- 

 dra 



v6 



(38) 2 cot. — = —= (R' 



n vn 



J'ajoute que le symbole (y) représente dans ce qui précède la quantité 

 + 1 lorsque le nombre i appartient au groupe des r, et la quantité 

 — 1 lorsqu'il appartient au groupe des r' , et je renvoie au mémoire de 

 M. Caucby pour les propositions que j'ai rappelées ci-dessus. 



La formule (58) se réduit à la première des (26), si n est un nombre 

 premier U + 5, car alors R + R' = î + 2 + 5 + ... + (»— 1) = 



n in — i 1 



d'où 



