DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 29 



sultera, pour j? = 1 , 



m- ■ ■ 



— 4- — l/— H = 2n(l— ^'V^- ; 



dx dx 1 — ^ 



^_ :^t/Z:^=_2(-l)\n(l-.n.2--^^, 

 dx dx ' — '■'■ 



et l'équalion (40) donnera aussi 



(45) ■ . . X = (-1)^ u(l-a^r-. 



Or, si n est un nombre premier 4/c + 5 , X sera = ^- , nombre im- 

 pair, et la fonction X, étant = ^^t" f , se réduira à n pour x = \ : dans 

 ce cas, ajoutant les équations (4-2), on trouvera 



= n I — a' . 2 ■ 



dx \ — a' 



et de l'équalion (45) on tirera n (1 — «')= ± ^—n; d'ailleurs, si l'on 

 prend 



ïT, ,— - . 1 -4- a' —1 rir 



a = è^^ ' , il Vient = , — r cot. — : 



donc 



(^^)- ; ^•'°'T = *^c"^- 



Si n est un nombre composé, l sera pair, et en formant la fonction X 

 (v. Nom. amu par M. Terquem, tom. VIU, p. 552), on verra facilement, 

 qu'elle se réduit h 1 pour .x = 1 : donc les formules (42) et (45) donneront 



~ V^^'n = n ( I -a'). 2 ^-^ , n (1 -a') = ± I. 

 dx i — «*■ 



— 1/— 



d'où , prenant a = e " ' , on conclut 



rx (/Z ,/— 



(45) 2 cot. — = ± — V n. 



* ' n dx 



Par la comparaison de ces formules avec la formule (38), on voit que 

 la différence R' — R aura pour valeur, abstraction faite du signe, ce que 

 devient l'un des polynômes dérivés — , u —, en y faisant x = 1. On peut 



