30 SUR LA THEORIE 



même substituer 



Y , f/Y Z , dZ 

 a -— , et a 



cl 5 v^t (l , 



X — \ dx X — ! dx 



car l'équation (59) donne Y = o, Z= ± 2, lorsque X = «, et Y = ± 2 . 

 Z ^ 0, lorsque X = 1. 



En rapprochant ce résultat avec ceux du n" VI, on conclura que si » 

 est nombre premier 8/.: -\- o ou Sk -{- 1 , la différence entre le nombre 

 des résidus et le nombre des non-résidus quadratiques de n inférieurs à 

 |n, sera égale pour n=Sk -\-l , et triple pour h^8^ + 5, de la valeur 



numérique de - — - correspondante h x=l. 



IX. 



Soit H un nombre premier de la foi'me 4k -\- ô , et faisons x = ^ — 1 

 dans les polynômes X, Y, Z de l'équation (59) : soit y + y, ^ — 1 ce que 

 deviendra Y, et 2 + 2, ^ — 1 ce qui deviendra Z. 



Posant 



' , oc = e" , on a x — a' =z c^ > " "^ ' . 2 k 



X ^ e- , a=. e" , on a x — a"" = <•'' ' " "^ ■ 2 k — ) . sin. 



\ \ Il 



ou 



x — x' = ie" * . e i ■ sin. , 



\i ni 



et de là 



71-1 R'^1/— , "~*-i/~ï . /^ '■" 



n(x— a'') = 2^". e~^~\ e~'^"^ ■ nsm. [ 



\ 4 n 



étendant les n aux — — valeurs de r, faisons pour abréger 



«+1 R'-^l/— ■ /-T l-T 



K = 2"2~. e^^' ■ nsin. 



\4 n 



R sera une quantité réelle, car c " ' = ± 1, R étant multiple de h, 

 et en substituant dans la formule (41), il viendra 



y H- y. 



_ "— I i/j^ 



ITT + j/_„ {; -,- 2, v/~T) = Kr ' "^ '"'■ 



