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LA THÉORIE DES RÉSIDUS OUADRATIOUES. 



I. 



Dans deux mémoires sur la théorie des résidus quadratiques {Mém. de 

 l'Acad. royale de Belgique, tora. XXIV et XXV), M. Scliaar a donné des for- 

 mules remarquables, qui conduisent à la loi de réciprocité de Legendre, 

 et à la détermination des célèbres intégrales finies ou so)nmcs cdteriiées do 

 M. Gauss, et de plusieurs autres intégrales analytiques. Je montrerai 

 bientôt dans les Annnli délie science Malematiche e fisiche de IVJ. Tortolini, 

 qu'on peut établir les mêmes formules et aussi une formule plus générale 

 à l'aide d'une expression de 2 F (a;), que M. Plana a donnée en 1820, 

 dans le tom. XXV de V Académie de Turin, et que M. Schaar a démontrée 

 de nouveau en 1848 {Mém. couronnés, etc., par l'Acad. royale de Belgique, 

 tom. XXII, p. 19); mais ayant trouvé une autre démonstration qui m'a 

 successivement conduit à tirer ces formules de celles de M. Gauss par des 

 transformations assez simples et sans le secours du calcul intégral, j'ai 

 pensé qu'il ne serait peut-être pas sans intérêt de faire connaître aussi 

 mes nouvelles réflexions à ce sujet. 



Je ferai d'abord usage de la formule sommatoire de Poisson, à peu 

 près comme l'a fait M. Schaar dans son mémoire du 5 août 1848 {Mém. 

 couronnés, etc., tom. XXIII), et je commencerai par montrer qu'on peut 



