i SUR LA THEORIE 



parvenir à cette formule d'une manière plus courte que celle dont Poisson 

 s'est servi. 



Dans la formule connue 



f{a] -^ f{ — a] I /"" 1 ' = * r"' i^{u — x) 

 (I) . . . L^i—L^ i = — / nx)dx+-l I f{x)dxcos.~ -, 



— a —a 



faisons "la = li , a — x = z — c, f{x) = 9(2) : il vient 



— ^ = -y ,i.)dz ^ - 1^^^ I ,(.)rf.cos. — ^^ — 



Remplaçons ici successivement c par c„, c, , c^, ... c„_, , posant en gé- 

 néral f, = c„ + ih, et ajoutons les équations résultantes : en remarquant 



2*>(ir — c„.) 2Lt(2-cJ 



qu on a cos. = cos. , et que 



(2). . . . / u(\z -+- / wlz -+- / udz -+-...-<-/ udz = j iidz , 



r„ Cl Os Cn— ) c. 



u étant une fonction quelconque de ;, nous trouvons 



h= 1 '^ *'''' ^ Â / 9(-)dz-i-- 1.^ , y f(-) dz COS. 



qui est la formule de Poisson. 



Si l'on prend c^^o, li=l, elle devient 



(4). . . 2:::,w=^i^^^/%(.)rf.^2 2;::y'%(.)..cos.2.... 



Soit 



— K— 1 — V-< 



m désignant un nombre entier quelconque , positif ou négatif, mais 

 pair ou impair comme n : on aura '^(h) = ^(o) = 1, et remplaçant 2 cos. ^kz 

 par e'"'-'^-' + c"-^'^''^, il viendra 



