SUR LA THEORIE 



Les formules de M. Gauss se résument dans celle-ci , 





X =: 1 



d'où, si n est multiple de 4, on tire 



x=zn iTTx- , , — ^1/ : /~ 



OU, écrivant 2» au lieu de n. 





pour toutes les valeurs paires de n. Mais on a 



-V—l !rnV—t ïTCxV—l — l/— 1 — Y-i 



en = e e e " == e " 



n 



étant pair, et par suite 



X = 271 TTX^ a y X = n TTX- , , 



x = l '^ x=l '^ 



donc 



X = n TTx- 



T 



»/-i 



(10) 2^^^ ,ir^^-'=e^'' ' Vn. 



Cela posé, soit m un autre entier : en donnant successivement à x les 

 valeurs 1, 2, 5, ... n, il est clair que la somme m + x deviendra con- 

 grue, suivant le module h et dans un ordre quelconque, aux mêmes 

 nombres 1, 2, 5, ... n, et qu'ainsi 



x:=n ?r(«i-+-x)- - y x = n TTx'^ . , — 



^ x=, e " — ^^=, c" 



car, en désignant par k un entier quelconque, n étant pair, on a 



7r{kn+x)- m y — .Tx- 



K— 1 „ 



en = e n 



