DES RESIDUS QUADRATIQUES. 9 



Développant le carré (m-j-a;)^, il vient 



X ^ 1 X ^ I 



et substituant dans l'équation (10), on en conclut 



V — l/— 1 K — 1 \T ~)V—i i/.. 



Z en fin e Vu, 



x= i 



qui se réduit à la formule (G), lorsqu'on remplace :2m par ;/i. La formule 

 (6) est donc démontrée dans le cas où m et /; sont deux nombres pairs. 

 Il s'ensuit que la formule (7) est aussi démontrée, dans tous les cas où 

 les nombres pq et /• seront pairs, et auxquels se rapportent toutes les 

 formules de M. Schaar. 



En écrivant 4p et Ar à la place de p et /• , la formule (7) devient 



ri 1 ^^ ij l — 1 



Cette formule est susceptible d'une transformation remarquable, lors- 

 que p et (] sont des nombres impairs. Alors, dans la somme que renferme 

 le second membre, les termes correspondants à des valeurs paires de i se 

 détruisent entre eux, car une moitié de ces valeurs sera de la forme ix, 

 et l'autre moitié pourra être représentée par l'expression Ax ± '2p, et l'on 

 aura 



±^'j/_ _ ^r(4x±.p) - _;r(p,±.,x±.r)l/=T _'Ii!ifl:i/=ï -'ELMyZT, 



TTqlix 



e sp e p — e ■ e np e p 



Quant aux valeurs impaires de i, on pourra les représenter par >./)+ ^x, 

 en supposant x=\, 2, 3, ... p, et / = ± 1 ou A = ± 5, de manière 

 que X prenne deux fois les valeurs 1, 2, ... p. On aura 



P >^ ^ ' e- p ^ ' = c ■' ^ e r PQ 



_ — (7x4- r)2 |/— i .—^qx V~t 



V pq e 



Tome XXV. 2 



