DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. H 



d'ailleurs supposant que p et q sont deux nombres impairs, premiers entre 

 eux, on a, suivant la notation de Jacobi, 



à l'aide des formules (15) et (16), et en faisant rn^pq — p — q+ 1, 

 l'équation (14) devient 



ou 



puisque m = (p—1) (7 — 1), e~'^^-' =(— l)'i Ainsi la loi de réci- 

 procité de Legendre, étendue à deux nombres impairs quelconques, 

 pourvu qu'ils soient premiers entre eux, découlent très-simplement de l'équa- 

 tion (14). 



IV. 



Pour démontrer la formule (6), dans le cas où ;» et n sont deux nom- 

 bres impairs, on remarquera que 



et que m -|-2.ï: sera congru , suivant le module 2h, à l'un quelconque des 

 nombres 1 , 2, 5, ... 2». Posons m + 2« = 2^H-f « ; i sera impair comme 

 m, et on pourra faire i ± n = ''2h, n étant aussi impair; on fera en même 

 temps 2/c =F 1 =X, prenant les signes supérieurs loi^sque i ne surpassera 

 pas n, et les inférieurs dans le cas contraire, et l'on aura TO + 2a;=AH + 2//. 

 11 en résulte 



(vi-^-'ixT- A^n h"- 



■ = -<- A/( -f- — , 



In 4 n 



il (,„+„,. V/-, _ ;^y-, h^y-^ '3î:j/-, 

 puisque X est impair, et )? de la forme 8i -f 1 ; i! est, de plus, visible. 



