14 SUR LA THÉORIE 



Appelons b' le plus grand entier contenu dans - , i l'un quelconque 

 des nombres 1, "2, 5, ... b' , k un entier positif quelconque : tous les ter- 

 mes de cette série seront compris dans les trois formes 



i 2(to)a=r I 2(fti — î)aT 1 . '■2[hb-t- i)u^ 



et comme on ;i 



^2lkb)a^ ■ ^2(kb±i)az- . Hut 



sin. — = 0, sin. r = ± sin. — — , 



6 b h 



il s'ensuit que la même série se transforme dans une somme de produits 



de la forme 



2«a2- /I i 



sin. 



6 \i b — i b -\- i ib — ( ib-^i Zb — i 



11 - -'"" 

 Or, on sait que cette nouvelle série, par laquelle sm. ^- se trouve 



multiplié, exprime^ cot. ^ : donc la série primitive aura pour somme 



— 2 sin. — -— cot. — ■ 

 6 ^=l 6 b 



. r 



Substituant cette valeur dans l'équation (1/), et remplaçant ? par -, 



on trouvera 



b ' = ''' 2ma- i- 



OÙ r sera le reste de la division de « par b. 



Des considérations semblables s'appliquent aux formules 



i u = sin. H — i sin. 2m -4- 5 sin. 3h — { sin. iu -^ ..... 

 i T = sin. Il -f- 3 sin. 3m + | sin. 5m -+- ...., 



qui supposent, la première — 7; < ?/ < 7t, la deuxième o < ;/ < tt; ainsi 

 qu'à d'autres formules du même genre. On en tirera 



1=!.' sin — 2 ' = ''' '2iax- i- 



(20). . .;=6,-2 2.^, (-I)'. __^,-{-l)' = -2_, sm.-^lang.-. 



sin. -j- 



en supposant pair, et b impair, et ^o = ~[( — 1)''"' + !]• 



