DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. IS 



Les équations (19) et (20) exigent que le reste r ne soit pas nul. On peut 

 les vérifier facilement, comme je vais le montrer pour la première. On a 



* = '" sin. {m-t- i)x 



2. COS. kx = — i -+- 



d'où, en différentiant par rapport à a;, on tire 



k = n, m COS. (m -+- i) X , sin. mx 



2 A sin. kx = — — : ■+- \ —. — —. — 



k—\ 2 sin. ï X sin.- ta- 



ct par suite 



t = fc 2Air h i- 



2 A sin. = — :; et- T • 



en faisant m = h, ^ = -y- Cela change l'équation (19) en 



'•=2-^6 ^>=. '^=. ' L^"- -1^ — •="■ —v—y 



mais COS. ^^^<^^ = cos.^^^<^, puisque « = 6^ + r; d'ailleurs la 

 somme 2'"'' cos. ""''''^^* est égale à //, si le nombre r àz k est divisible 



1=1 6 



par 6; dans le cas contraire, elle se réduit à — ~ lorsque b est impair, à 



— ± -{- ± COS. (/• ± A:)7r lorsque b est pair : en remarquant donc que, 



pour rendre r + k divisible par b, il faut supposer k = b — r, et que, pour 



rendre r — k divisible par b, il faut supposer k = r, on conclura sans 



difficulté, que le second membre de la dernière équation revient à l'une 



des expressions 



de sorte qu'il devient identique au premier membre. 

 On peut mettre les équations (20) sous la forme 



1 = 6' >.;„ '£ï 2 ' = ''' ilar i' 



m ■ •'•' = -22,^. (-'•'• ^-^. (-'r = -^s.^, ^i"- — '"'^•'^' 



sin.-r 



en faisant r' = r lorsque le reste r sera un nombre pair, et r' = — [b — ?•) 

 lorsque r sera impair. 



