16 SUR LA THEORIE 



VI. 



Pour appliquer ces formules à la théorie des résidus quadratiques, 

 soit n un nombre premier impair, et faisons b = /.' , a = 4a;-, x= 1, ^, 

 5, ... — ^— : on obtiendra pour /• les — — résidus quadratiques de n, et 

 la somme 2^~ - sin. — — sera nulle si le nombre n est de la forme 



4A -|-1, et sera = (-)■ 1 V^n, si « est de la forme àk-\- 5. Si donc l'on 

 désigne par / le nombre des résidus quadratiques pairs de n, par g le 

 nombre des résidus quadratiques impairs, et par R la somme de ces "§" 

 résidus, l'équation (19) et la deuxième des (21) donneront pour n = Ak-\-\. 



nin—l) 



(22) R = ~. — , f-g = '>. 



et pour n = Ak -^ 3 



(23). R=-^ -~iV>,l^ M- cot.-, —g=——^I, - - tang. -. 



Lorsque 7i= Ak-\-d, on sait que si /• est un résidu quadratique de n, 

 n — r est un non-résidu, et d'ailleurs 



»- I AlV^-;- / "T 



ilX^!r I il 



sin. 



X= 1 (I \ î( 



Vli: 



donc, en nommant F la somme des résidus quadratiques pairs, et F' la 

 somme des non-résidus quadratiques pairs du nombre /;, on tirera de la 

 première des formules (21), n étant = i/c + 5, 



— «■ = — /''* 



CU) F — F' = — Vil. 1. M - , .» 



Mais on aura 



{n — i)^ . ir ., , .,- /2w — 2t 



=^ sin. — , ( — 1 )" ' = — 



n 



\ 



et par suite on pourra substituer aux valeurs impaires de i des valeurs 



