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ou tirera de cette équation et des équations (26) , 



<->■ ■ ».^-.)=[-4-!)-]('^--)- --=[e)-'](^~- 



On aura donc F— F' = o, lorsque (^) = 1, et F— F' = — 2 1"^^^ -2R 1 



= —{f — 3)' lorsque^] = — 1. H s'ensuit 



I 



(30) 2 -^^^ = , 



sin.-^ 



si le nombre n est de la forme 8/i + 7. et pour h = 8/c + 3 



(31) 2 :;;:= = ; Vn. 



sin. '-jr '* 



Le premier de ces résultats a été démontré par M. 3Iorizstern, dans le 

 tome XV des Mémoires couronnés par tAcad. roy. de Bruxelles {1"= partie, 

 p. 54); mais il avoue, que, malgré des efforts réitérés, il n'a pu déter- 

 miner cette somme dans le cas de n = 8/î: + 3. On voit qu'elle dépend 

 des nombres entiers f, g, dont on n'a pas, à la vérité, une expression al- 

 gébrique en fonction de n, mais qui s'évaluent facilement pour chaque 

 valeur particulière de ce nombre. Je remarquerai que si (|) = l, le 

 double de tout résidu inférieur à -^ sera un résidu pair inférieur à n, et 

 qu'au contraii-e ce double sera un non-résidu, si (f ) = — 1; d'où l'on 

 conclut qu'en désignant par /( le nombre des résidus et par li' le nom- 

 bre des non-résidus quadratiques de n inférieurs à ^, on aura toujours 



/• (7 = (-) {h — h'). Or, la différence h — /«' est égale au reste qu'on 



obtient en divisant par n la somme 1 + 2 - + 3 ' + ... + ^^j ' , et 

 peut se calculer, comme l'a montré M. Gauchy, au moyen des nombres 

 de BernouUi. Il résulte aussi de la première des équations (29) que 

 cette différence sera multiple de 3 pour tous les nombres n = Sk -{- 3. 



On a aussi évidemment 



n— I 



h — h' ■= _ 2, - siii. 



sin.'f •^ = ' " 



