DES RESIDUS QUADRATIQUES. 10 



D'après une autre formule de M. Cauchy, si l'on représente par /) tous 

 les nombres premiers qui sont résidus quadratiques de u, et par ;/ ceux 

 qui sont non-résidus, on aura 



le signe de multiplication II, s'étendant à tous les p et à tous les // (voyez 

 Comptes rendus, etc., tom. X, p. 720) : et par cette équation on voit que 

 la différence h — h' sera toujours positive. La seconde des (28) donne 

 1 tang, ^ = — (/' — /'') ^" , d'où 



1 tang. = ni— - •-+-- 



n r \ ;;/ \ /) 



L'un des nombres h, h' sera pair et l'autre impair, n étant 8A + 7 ou 

 8/;+ 5, car // -|-/j' = ^^ est un nombre impair. Lorsqu'on sait lequel 

 est pair ou impair, on peut en tirer une conséquence pour le théorème 

 de Wilson. En effet, il résulte de ce théorème que f 1. 2. 5.... — ^ j — 1 

 et par suite l'un des nombres 



n — I , _ n—i 



1. 2. 5 ... i , I. i.â ... — — -*- I 



est divisible par n : si le premier est divisible, il y aura parmi les entiers 

 1,2,5,... '-^^ un nombre pair de non -résidus quadratiques de », 

 car la différence ( 1. 2. 5 ... ^^]^ — 1 sera aussi divisible par n; si 



le second est divisible, la somme [ 1. 2. ô ... — p-j - + 1 sera divisible 

 aussi, et par conséquent le nombre des non-résidus facteurs du produit 



n — 1 



1.2.3....-^ sera impair. Donc le nombre n est diviseur de 1. 2. 



5 ... '-^ -f- 1 , si /t est pair, /(' impair, et de 1. 2. 5 ... '-^ 1 , si h 



est impair, h' pair. 



On peut démontrer les formules (2G), (27) par une autre méthode, 

 dont je vais faire une application en déterminant la somme 2 _^' .^^ ^ o 



