20 SUR LA THÉORIE 



dans le cas où n désigne un nombre premier de la forme Âk -\- 1. En 

 différentiant par rapport à x l'équation connue 



2 sin. ix = -. , 



' = 1 sin. i X 



on trouve 



< = "' Hisin.i"''^ ' X fsin.'~ic 



2 i COS. ix = — i \ ~ 7—- 



• =« 2 sin. i a; \siii. i x 



d'oîi, faisant m = ^^, x = '^^, et supposant : un entier non divisible 

 par n, on tire 



2'=^icos.:^^^ = -lU7;-^ • Mais 2-/ COS. =. U/n-i, 



, = 1 ,1 \ 2 COS. — / ï = 1 n \ n I 



= 1' l'2cos.^ 



2'- ' 



puisque n est de la forme Ak -j- 1 : donc 



^;:^[(!)^■^']- 



Or, on a (-) = (-) (-] , et nommant H la somme des résidus quadra- 

 tiques de n inférieurs à^, H' celle des non-résidus inférieurs aussi à 

 '^, il est visible que la somme des valeurs de i (-1 pour /= î , 2, ... -y- 

 sera exprimée par H ■ — H' : d'ailleurs la somme des valeurs de i sera 

 Nous en conclurons 



(.52) 2--^ -^.= - --i{~] (H-\i')\/n. 



^ ' = = ' (cos.!^)- 2 \nl 



En supposant x = '^ " , m et : deux entiers non divisibles par n, on 

 eût trouvé 



z = i (ces. ^) 2 \ n I 



On a, en général, — r 1 = tans.- 3) : donc cette formule donnera 



COS.^ f 



z — —^l ^mz-\'2 n(n— I) /2m\ ^„ ,„>,/— 



