DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. il 



VII. 



Faisons dans la formule (19) b = n, a^mx, et successivement j;= 1, 

 2, 3, ... - — : on pourra en tirer une expression de la somme des restes 

 obtenus en divisant par n les nombres m, 2m, om, ... —^m; désignons 

 cette somme par M. Supposant m pair, on trouve 



1 * sin. = — i tang. — - : 



1=1 II iU 



au moyen de cette valeur, on aura 



M = -^ -+- ï 2 ' tang. — - cot. — • 



Soit m, le nombre des restes qui surpasseront -, M, leur somme : la 

 somme des restes inférieurs à ^ sera M — Mj ; de plus, en retranchant 

 de n chacun des m, restes supérieurs à -, on obtiendra des nombres in- 

 férieurs à Q, dont la somme sera mjft — M,, et qui, étant réunis aux au- 

 très restes, compléteront la suite 1, 2, 3, ... ^;- : d'où il résulte 



H— i H'-'— 1 



(M — M,) -+- (h(, ?i— m,) = 1 -4-2-f- 5 -+- ... -i — = — - — , 



et par suite 



,/, /* = -+- 2M, - M = 2M, - - — —^ il. / tang. -— col. -, 



en substituant la valeur de M. On voit donc que si l'on pose 



(53) ^ = ^^TS +i2._- tang. -— cot. - , 



les nombres m^ et l seront tous deux pairs ou tous deux impairs. Or, 

 suivant un lemme de M. Gauss, on a -1 =( — 1) si n est un nombre 

 premier impair et m un entier non divisible par /( : on aura donc aussi 

 = ( — 1)^, et par conséquent le nombre A, donné par la formule (55), 



