n SUR LA THEORIE 



déterminera le caractère quadratique du nombre pair m par rapport au 

 nombre premier n. 



Si le nombre m , dont on demande le caractère quadratique est im- 

 pair, on n'aura qu'à remplacer m par Am dans la formule (35), puisque 



im\ Inï 



ni \n 



mi 



Prenant m = 2 , il vient tang. -— cot. - = 1 , et par conséquent 



(«-■1)2 )(— I ir- - 1 /'2\ , -^ 



A l'aide de la formule (19) on peut démontrer deux autres lenimes , 

 qui, avec le précédent, ont été employés par M. Gauss dans ses troisième 

 et cinquième démonstrations de la loi de réciprocité. 



Soient, en effet, m et n deux nombres impairs et premiers entre eux, 

 et faisons /* = mn, a = mx -\- ny : nous aurons 



Sittî . 2«V.r 2îV)/ 2(,r7 SiVa- 



sin. = sin. cos. — - -t- sin. — ^ cos. , 



b n m m 11 



et partant 



mn i-'n^!zl _ 2îVa; ^izy iz ,=z!ïLzi _ gfVj/ 2tVx îV 



r = 2 * sin. - — - COS. cot. 2 ■ sin. cos. cot. 



2 " = 1 n m mn ' = ' m n mn 



Soient aussi , pour abréger, p = —^ — , q = —^ , et donnons à x toutes 

 les valeurs 1 . 2, ô, ... qi, à y toutes les valeurs 1 , 2, 5, /> : la somme des 

 valeurs de cos. ^^ sera p si ; est divisible par m, et — l dans le cas 

 contraire; de même, la somme des valeurs de cos. - — sera ii si i est di- 

 visible par n, et — ~ dans le cas contraire. Or, i, s'étendant de 1 à 

 — H- =mq -\- p = np -\- q, aura q valeurs divisibles par jh , et p valeurs 

 divisibles par n, et on pourra représenter les premières par mi, les der- 

 nières par 7ii. Désignant, de plus, par Ir la somme des pq valeurs de r, 

 on tirera de l'équation précédente 



mn x = 9 -ïiiLz.' . o,va; j_ y=p .^^i:^ 2iV«/ ?> 



2r = — pq + i z Z sin. col. >- i 2 2 ■ sin. cot. — 



2 x = i i=i ,f ffifj ij=z\ i=i m mn 



m ^=1 ' = 1 2iWiT.i: (V n y-P '=P . 'iinzy ir 

 2 2 sin. cot. 2 2 sin. cot. — • 



