DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 23 



Maintenant il est clair que si l'on suppose a < />, le reste de la divi- 

 sion de a par b sera a; d'oîi il suit qu'en faisant dans la formule (19) 

 b = mn, a = mx, et sommant de a; = 1 k x = q , on aura 



^ = 9 mn J^='/ ^'=^ . 2iVj; iV 

 2 jna" ^ — q — 2 2, sm. cot. 



On obtient d'une manière semblable 



y = P mn y=P 1="^ . 2«V!/ tV 

 2 «(/ = — « — 2 2 ■ sin. cot. 



y=\ 2 l/=I 1=1 ;n )>1JJ 



D'ailleurs, si M désigne la somme des restes qu'on obtient en divisant 



par n les nombres mx = m, 2m, 3m, ... qm, et si N est la somme des 



restes qu'on obtient en divisant par m les nombres mj = n, In, Tm, ... pn, 



la formule (19) donnera 



11 == = 9 '—1 iimjrx iV 



M = - </ — 2 2 sin. cot. — , 



2 X = I 1 = 1 n n 



m V = P '=P ^inry i^r 



N = — » — 2 2 sin. cot. — ' 



2 y = 1 I = I m m 



Au moyen de ces équations , on réduira l'expression de Ir à 



mn Imn ^^=V \ , ! mn y = P 



m In .. \ M / ni 



ou, remplaçant les sommes 2^' mx, 2^'^^ nt/ par leurs valeurs, et rédui- 

 sant , 



(36) .... ilr = mnpq -m^-^ ' — " -^ + ?hM + «N. 



Parmi les restes qui forment la somme M , distinguons ceux qui sur- 

 passent q, et nommons jn, leur nombre, M, leur somme : nous aurons, 

 comme ci-dessus, 



(M — M,) -1- (»i.n — M,)= — — - = -i-ll- -'. ou M = 2M,- m,)i -H- ^— • 



Pareillement, si n, est le nombre et N, la somme de ceux des restes for- 



