34 SUR LA THEORIE 



et par suite 



remplaçant u et t^ par 8h et Sv , nous en déduirons «- — jw- = — 1. 

 Posons encore {u + v ^^f = ît ' + v' V7i : il viendra 



On peut transformer d'une manière semblable les équations (46) et (47) : 

 dans ces équations y et j seront impairs, et posant 



(y -t- rr VnY = m -i- y Vlî, on trouvera i« = yî H- nz- . V = iyz , 



ce qui montre que u et v seront pairs; on aura, de plus, 



et faisant ît= 2w', w==2i'', on en conclura u'- — nv'- = 1. 



Ainsi les formules obtenues donnent la solution de l'équation célèbre 

 u^ = nv'^ -\- 1 , dans tous les cas, où n sera nombre premier impair, qu'il 

 appartienne à l'une ou à l'autre des formes ik ± l. 



X. 



Je vais démontrer un autre théorème, énoncé au même endroit par 

 Jacobi, et qui se rapporte aussi à cette théorie. 



Soit H le produit de deux nombres premiers p, q de la forme 'ik + 5; 

 soient a et a" respectivement deux racines primitives des équations 

 x'' — 1=0, et x' — 1 = 0, et représentons par r' les résidus quadratiques 

 de p inférieurs à p, et par r" les résidus quadratiques de q inférieurs à q : 

 on pourra tirer toutes les valeurs de r des deux équations x=a"~' a'"'". 

 a = a~'" a""''", et les formules (49) deviendront 



^ ' (x"—l) {x^—i) '^ 



(53) Y -4- Z»/pç = 2ti (ar — j/' ^"'") (a; — «'"'' j:""' ). 



Posons a; = 1 , et nommons y, z, les valeurs correspondantes de Y, Z; 



