DES RESIDUS QUADRATIQUES. 



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dont la deuxième fournira des valeurs entières de ij et 2 satisfaisant à la 

 première. Si y et s sont pairs, on fera ij = 2h, 2 = 2i;; si y et 2 sont im- 

 pairs, on fera (y + 2 ^i^qf = 8 (ît + f ^V'i) ' ^^^5 ^^^^s tous les cas, on 

 obtiendra une solution de l'équation w- = pijv- + 1 en nombres entiers. 



Remarquons que, dans cette équation, v sera pair et u impair; car si 

 V était impair, le binôme fqv^ + 1 serait de la forme 4/;; -f- 2 , qui ne peut 

 convenir à un carré m-. Il s'ensuit que, dans l'équation y- — pqz- = 4, le 

 nombre y, s'il n'est pas impair, sera double d'un impair. 



Remarquons aussi que les deux équations 



n'ayant aucune racine réelle, les polynômes X -f- Z ^ pq , Y — Z V pq 

 demeureront positifs pour toute valeur réelle de x, si l'on suppose positif, 

 ce qui est permis, le coefficient de la plus haute puissance de a; en Y : 

 donc leur demi-somme Y demeurera pareillement positive. D'où l'on con- 

 clut que la valeur y de Y correspondante à a;= 1 sera positive. 



Soient maintenant y' et s' les valeurs de Y et Z correspondantes à « = — 1 : 

 y' sera positif, et des formules (49), (52), on tirera 



(55) y'^ — pqz'-^ = i , 1/ -i- z'\/pq = 'in {l + 0^'), 



le nombre des valeurs de r étant pair. Mais on a 



y -1- ;V/pç"=2n (I — «.'■), 

 et multipliant celte équation par la deuxième des (55), on obtient 

 {y' + z- V]^} (y -*- z V^) = 4 n (\—cn- 



