36 SUR LA THEORIE 



Or, si 2 est compris parmi les r, a' prendra les mêmes valeurs que a', 

 et par conséquent on aura n (1 — a"') = n ( 1 — a), d'où 



(y' -+- s' Vpq) (!/-+-- Vpq) = 2 (ij + ; V^) : 



cette équation donnera y' = 2 , z' = o. 



Si 2 n'est point l'un des nombres r, les valeurs de a" seront toutes 

 différentes de a , et remplaçant a par a"" dans la deuxième équation (49), 

 on devra changer le signe de ^p(j, ce qui donnera 



Y — z j/^j? = 2 n (x — a-') . 

 et par suite 



dans ce cas, on aura donc 



[y' -»- - ypq) [y + - ^pi) = ^ («/— ~ Vpq), 

 et de là on tire 



y^ -\- pqz- 

 yy' ■+■ pqzz' = 2»/ , yz' -^ y'z = — 1z, y' = ~ = j/^ — -2 , z' = — yz. 



11 en résulte que si y est impair, ij' sera de la même forme 8A; — 1 , 

 puisque if' sera de la forme S/î -f- 1 ; et que si y est pair, y' sera de la 

 forme 2(16/*: + 1), puisque y- sera de la forme 4(8A- -\- \), y étant alors 

 double d'un nombre impair. 



Faisons encore x^ ^ — 1, et désignons par y, + y2 ^ — 1, 3| + -2 ^ — ^ 

 les valeurs correspondantes de Y, Z : il viendra 



_ / |l/=T ] 



y^ ^ y^ V — i + (Z, + Z,\/—\) Vpq = 2n U — y:]. 



Mais prenant 



5t = e''' , on a e'- — y.' = e' ■ e'"> . 2|/— 1 sin. 



\4 pq 



de plus, le nombre des r est ^ (/j — 1) (</ — 1), double d'un impair, et 

 leur somme est divisible par pq; d'où 



