DES RESIDUS QUADRATIQUES. 57 



donc, en séparant les parties réelles et imaginaires, on conclura 



(56) y, + 2,l/;";7=2n[2sin.(^-^)], 



et y, + :, ^pq = o, c'est-à-dire iji = o, ;, = o, car y, et z, comme i/^ et 

 Sa sont supposés entiers ou nuls. Ainsi j/.. ^ — 1 et ^^ ^ — 1 seront les 

 valeurs de Y et Z correspondantes à a; = V/ — 1, et en les substituant 

 dans l'équation (52), on trouvera : 



(57) yl— pqz\ = i. 



Cela posé, soit l = \[p — 1) (7 — 1), et représentons par 

 ^y _ p^a;^-' + P,a;^-- — ... -t- Pa 



le polinôme Y -f Z ^pq, ou le produit 2n(x — /) : tout coefficient P, 

 sera un nombre entier, égal au double de la somme des produits formés 

 en combinant i à i toutes les valeurs de a. Chacune de ces combinaisons 

 peut s'obtenir en divisant le produit de toutes les valeurs de a par une 

 combinaison des mêmes valeurs prises \—i à 1 — i, ou bien en le mul- 

 tipliant par une combinaison semblable, car a""*" ou a'"'"'" prendra les mê- 

 mes valeurs que a ; d'ailleurs le produit de toutes les valeurs de a est 1, 

 la somme des valeurs de r étant divisible par pq : donc chaque combinai- 

 son de i valeurs de « sera égale à une combinaison de A — i valeurs, et 

 la somme des combinaisons i à i sera égale à la somme des combinaisons 

 l — i à l — i. On aura partant P, = P^_,, c'est-à-dire que dans les poly- 

 nômes V et Z, les coefficients des termes également distants des extrêmes 

 seront égaux. 



Soit, dans le polynôme Y, A la somme des coefficients des puissances 

 paires de a;, B la somme des coefficients des puissances impaires, B, la 

 somme des coefficients des puissances dont les exposants seront de la forme 

 Mi + 1 , B. celle des coefficients des puissances dont les exposants seront 

 de la forme Mi -\-o : il est évident qu'on aura 



y = A + B, y' = A— B, B = B, + B,, ?/, = B, — B, , 



