58 SUR LA THEORIE 



d'où 



y = j/' + 2B, B = 1/, -+- 2B,. 



De plus, le terme du milieu, étant affecté de la puissance impaire x'^'', 

 fera partie de la somme B, et comme 1 est de la forme M + 2, les nom- 

 bres i et 1 — i seront tous deux pairs ou impairs, tous deux de la forme 

 Ak + 1 ou de la forme Ak-{-ô : donc A sera toujours un nombre pair, B 

 sera pair ou impair, comme le coefficient de a;^^, et lorsque ce coefficient 

 sera pair, B^ et B^ seront pairs aussi. 



Supposons premièrement que le coefficient de x^^ soit impair; B, jy et 

 y' seront impairs, la forme de ij' sera 8A: — 1, celle de 2B sera Ak -{- 2, 

 et par conséquent celle de y = y' -(- 2B sera Ak-{- l. 



Supposons, en second lieu, que le coefficient de x^^ soit pair; B, et î/., 

 seront pairs, et comme y^ satisfait à l'équation (57), il sera double d'un 

 nombi-e impair; donc y., + 2B., ou B, sera aussi double d'un impair. Dans 

 la même hypothèse y' sera pair, et partant de la forme 2(16A -[- 1), k 

 pouvant se réduire à zéro; donc y sera de la forme 2{Ak-{- 12), en vertu 

 de l'équation y = y' -[- 2B , et puisque B est de la forme 4/c -\- 2. 



Concluons que, dans les équations (54), si y est impair, sa forme sera 

 Âk-\- l; s'il est impair, sa forme sera 2 [Ak + 5). 



Cela prouve, d'abord, qu'on ne peut avoir y= 2, z = o, et qu'ainsi 

 on aura bien une solution en nombres entiers différents de zéro. Mais on 

 peut en tirer une autre conséquence. 



L'équation if — pqz- = A donne (j/ -f- 2) {y — 2) —pqz^, et les facteurs 

 y + 2 , y — 2 , dont la différence est 4, ne peuvent avoir de diviseur com- 

 mun impair. Or, si y = 4/î -|- 1, ces facteurs seront tous les deux de la 

 forme 4i -j- 5 et premiers entre eux : donc , ayant pris deux nombres u 

 et V, dont le produit soit égal à 3, et premiers entre eux, l'un des mêmes 

 facteurs sera égal à pii^ et l'autre à qv-. Posons 



,, , V -H 2 =-■ «M*, 1/ 2 == 01'-, Z = VV. 



doù r .; V 



(58) pu- — qv'- = 4, 



et 



-y = /'«" + 1'^^ . -2/ + -2 y'pq — pu- ■+- qv^ -4- 2uy i^pq = (" Vp + V Vq)^- 



