DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 39 



Substituant cette valeur dans la deuxième (54), et extrayant des deux 

 membres la racine carrée, on aura 



(59) «»/;) -+- t)»/9 = 2. 2 ^ ^ . Il sin. 1^— H j- 



Si rj est pair, z sera pair aussi, et posant y = 2(4/£ + 3) , z-=^k', il 

 viendra 8 (/^ + 1) (2/^ + l)=pqk'^; donc k'"^ sera divisible par 8, k' par 

 4 : soit k' = Ak" , d'où 



(k ^ i) (2/t + l) = 2/)7r-^; 



de sorte que A: + 1 sera divisible par 2. Faisons /c -)- 1 = 2A;, : on aura 



y=2(8ft.— 1), yH-^2=lGft,, »/ — 2 = 4(.«, — I ), 



et ces deux derniers nombres auront 4 pour commun diviseur. 



Soit donc décomposé z en deux facteurs, dont le plus grand diviseur 

 commun soit 2 , faisant 2 = uv : le nombre ij — ^, diviseur de pqifiv^, étant 

 de la forme 4 (4/*;, — 1 ) , sera nécessairement égal à l'un des deux pu-, qv-, 

 et, par conséquent, l'autre facteur y + 2 sera aussi égal à l'un de ces 

 nombres. On posera donc tj + 2 = pu-, y — 2 = qv-, et on en déduira, 

 comme ci-dessus, les équations (58) et (59). 



L'équation (59) fournit donc, dans tous les cas, une solution de l'équa- 

 tion indéterminée (58). C'est le théorème de Jacobi. 



En échangeant pir et qv- entre eux, on change le signe du second mem- 

 bre de l'équation (58). Pour décider, lequel des deux signes doit avoir lieu , 

 il faut observer que l'équation (58) donne 



A^pu- {mod. q), é^^ — qV- [mod. p) : 



A étant carré, il s'ensuit que pu^ doit être un résidu quadratique de q, 

 et — qv-, un résidu quadratique de p; donc p doit être aussi un résidu 

 quadratique de g, et — q un résidu quadratique de p, ou q un non-résidu 

 quadratique de p, car p est de la forme Ak -\- 5. Au contraire, l'équation 

 p„2 — gi,2 =, — 4 donnerait q résidu de p et p non-résidu de q. On con- 

 clura de cette observation que le signe cherché dépend du caractère quadra- 

 tique des nombres p,q,el que l'équation (58) aura lieu, si l'on choisit pour 



