40 SUR LA THEORIE 



p celui des deux nombres qui est résidu quadratique de l'autre : cette 

 condition a été aussi indiquée par Jacobi. 



On peut, en même temps, en conclure, que, p et q étant deux nombres 

 premiers de la forme 4k -f- 5, si p est un résidu quadratique de q, </ sera 

 un non-résidu de /;, et vice versa; ce qui est un cas de la loi de réciprocité. 



Jacobi l'emarque que si, dans l'équation (59), u et v sont impairs, il 

 suffit de l'élévation au cube pour en déduire la solution de l'autre équation 



piCt — f/Vl = 1 . 



Posons, en effet, 



{u\/p -t- V Vq]'^ = S (m, \/p -4- t\ \/q) , 



c'est-à-dire 



8», = pii^ -+- Zquv''-, 8u, = opu'^v -t- qv-; 



substituant pw- = qv^ -\- 4, et divisant par 4, on obtient 



2î(, = M [qv- -1- 1 ), 2(1, = V (qv- -t- 3) , 



et qv^ -{- 1, qv--\-o étant deux nombres pairs, on voit que u, et i', se- 

 ront entiers. Or, 



pil^, — qv\ = - [pu"- — qv^-Y = — = 1. 



XI. 



J'ai dit (§ VIII) que la fonction X, résultant de la multiplication de 

 tous les binômes x — a. formés avec les racines primitives de l'équation 

 x" — 1 = 0,» étant un nombre composé, se réduit à 1 lorsqu'on suppose 

 x= \ : en voici la démonstration. 



Désignons par 0, les diviseurs premiers différents du nombre «, par 

 «, leurs combinaisons i à i, faisons — = 6, , - =6,, et indiquons par 

 n {x''' — 1) une multiplication étendue à toutes les valeurs de b^, par !!(«''' — 1) 

 une multiplication étendue à toutes les valeurs de fc,, c'est-à-dire à toutes 

 les combinaisons i à i des facteurs premiers inégaux de n : nous aurons 



(x»— 1). u[x''' — \). n(x'' — 1). u[xS—\) 

 (60) . . . X =: -^ — 



n (x'. — 1). n (x'= — J). nfx's — 1). n(xS — d). 



