SUR LES MEDIANES. 9 



Une transversale quelconque est donnée par x = a, y = b. Si on substitue 

 ces valeurs dans la transformée, les z que donnera celle-ci seront les z des 

 points où cette transversale rencontre la surface, rapportés au plan mobile 

 des a; y, dont l'équation est z = h. Mais suivant que ce plan rencontre la 

 transversale en son médian 1", en son médian 2"'% etc., le coefficient de 

 z'"-*, celui de z™"', etc., doivent être nuls dans la transformée. Ainsi le mé- 

 dian m''"'" de la transversale a; = a, y = h est donné, par rapport aux pre- 



I,;, Il Q 



miers axes, parla valeur de h tirée de ^p^r;: où a;, y et : sont remplacés 

 par a, b et li. Pour rendre à la transversale sa généralité, il faut remplacer 

 rt et ^ par x et y ; alors h sera l'ordonnée variable de la médiane /«""" pa- 

 rallèle de la surface. En représentant cette ordonnée par z, la médiane 

 jjieme .^ p^yj. equatiou — 3^ = o. 



Par conséquent, les médianes 1"' parallèles d'une surface algébrique d'ordre m 

 sont des surfaces de l" ordre; les médianes 2""='^ parallèles, des surfaces de 2"'' ordre; 

 les médianes n'™" parcdlèles, des surfaces de n'°°"' ordre, jusqu'à la médicme m'™% 

 qui est la proposée elle-même. 



Observation. — Quand z'" manque dans l'équation S=o, un des m points 

 d'intersection de la surface avec les transversales parallèles aux 2 passe à 

 l'infini, ainsi qu'un des médians de chaque ordre; mais il faut remarquer 

 alors que les n — 1 points de la médiane n""" situés sur une parallèle aux 

 2, ont la propriété d'être les médians n — 1 des m — 1 points de S, situés 

 sur cette parallèle. 



9. Soit une surface S de l'ordre m, coupée par un système complet de 

 transversales polaires. L'origine des coordonnées est prise au pôle, les 

 axes étant d'ailleurs quelconques. x = az, y = bz est une transversale. 

 Substituant ces x et y dans S, celle-ci donnera les 2 d'intersection de la 

 transversale avec la surface. Cette équation en z. S', est du degré m, et en 

 général le coefficient de 2'' se compose de l'ensemble des termes du degré 

 p de S, où X, y et 2 sont remplacés respectivement par a,bet\. Soit changé 

 dans S' , 2 en 2 -}- /; ; on obtient : 



o-=(S') + 



rfS'\ ; /rf-^S'\ z"- iitS' 



ilz I 1 \dz'^ I 1.2 Xilz"" I \i m. 



Tome XXV. 2 



