10 RECHERCHES 



Cette transformée donne les z de l'intersection , rapportés au plan mobile 

 z = h. Mais il est aisé de voir que, si ce plan passe par le médian 1", 

 !2"'% etc. de la transversale, le coefficient de s'""', ou celui de z"'~^, etc. 

 doit être nul. Ainsi le médian n"'""' de la transversale x =^ az, y = bz est 

 donné, par rapport aux premiers axes, par la valeur de li tirée de l'équation 



( 1 =0, ou par la valeur de 2 tirée de = o. Celle-ci contient 



\dz"'-"J '■ dz"-" 



encore a et b, qui déterminent la transversale. Éliminant ces deux constan- 

 tes «=- , 6 = 7, on voit que l'on reconstruit en entier les termes des 

 divers degrés, puisque a et b, comme coastantes, ont gardé partout leurs 

 exposants; le degré de s seul a partout diminué de m — n unités, de façon 

 que, pour chasser les dénominateurs, on doit multiplier par z"''"; et, de 

 cette manière, les divers degrés sont reconstruits en entier. La seule chose 

 à observer, c'est que, à cause de la différentiation, chaque degré est mul- 

 tiplié par un coefficient. S'il s'agit, par exemple, du degré v, le coefficient 

 est : V {v — 1)... [v — (m — n) + 1]. On voit par là que la médiane n''"" 

 polaire n'a pas de terme d'un degré inférieur à m — n. 



Par conséquent, les médianes polaires d'une surface algébrique d'ordre m sont 

 des surfaces du même ordre. 



La propriété la plus saillante de ces fonctions est que les divers degrés 

 ne sont pas altérés, en passant de la proposée à ses diverses médianes po- 

 laires; mais l'indice du plus faible degré ajouté à l'indice de la médiane 

 vaut toujours m. 



Observation.— D'après le n" 8, une transversale rectiligne qui rencontre en 

 m points la surface S, a n médians n'""''% tandis que ce numéro donne pour 

 la médiane n"'"" une surface d'ordre m; cette contradiction apparente lient à 

 ce que, pour rendre la fonction entière, il a fallu multiplier par z"'""; 

 aussi la surface a-t-elle à l'origine un point multiple d'ordre m — n, et 

 ce sont les n points restants seuls qui sont médians n"""'' de la transversale. 



10. Bcmarquc. — Il est à observer que les diverses médianes parallèles de 

 S suivant un même axe, sont en même temps médianes les unes des autres, 

 c'est-à-dire qu'elles sont toutes médianes de celles d'ordre supérieui-. Ainsi 

 la médiane m — 1 de S suivant les z est — ; la médiane m — 2 de S et la 



