SUR LES .MEDIANES. i 1 



médiane m — 2 de — sont également ^-r-- Mais au lieu de prendre la mé- 



,„ dz ^ dz- 



diane m— 2 de— suivant les :, on peut la prendre suivant les y, et alors 



on a Celle-ci est encore une médiane m — 2; elle appartient aux 



dzdy 



médianes m — 2 des deux axes %, y. De la même façon, les médianes m — ô 

 de trois axes x, y, z comprennent - , aussi bien que — • 



En appliquant aux médians d'une transversale l'observation ci-dessus, 

 on voit que si l'on prend les n médians n"'"" de m points en ligne droite , 

 puis les p médians p"""" de ces n points, les /; points seront en même temps 

 les médians p'"'"' des m premiers points. Pour trois points, par exemple, on 

 a généralement deux médians seconds ; le médian premier de ces deux-ci , 

 qui n'est autre que le point milieu des deux, est en même temps le centre 

 des moyennes distances des trois premiers points. Il en résulte encore que 

 la première médiane parallèle d'une surface de troisième ordre (cette 

 médiane est le plan, lieu des centres des moyennes distances des transver- 

 sales) est un plan diamétral de la surface de second ordre, qui en est la 

 médiane deuxième. 



11. On peut donner à l'équation des médianes polaires une autre 

 forme, qui rattache leurs propriétés à celles des médianes parallèles. Voici 

 comment : 



Si ton prend toutes les médianes n"""' jMrallèles de trois axes x , y , z, si après 



. , , ^ . d^+i^+'^S i.2 (a-f-b + c) ^ ,, ^ 



avoir multiplié chacune des fonctions j^„^^,j^, par , o...aX1.2...bxi.2...c ^ ^ ^ ' 



on ajoute tous les produits, on aura l'équation de la médiane polaire n"""^ dont le 



pôle est à l'origine. 



Soit le terme général S, TxPy''z\ Suivant les dérivées que l'on en pren- 

 dra, on aura des termes qui appartiendront aux différentes médianes pa- 

 rallèles n''""', mais qui , moyennant la multiplication indiquée par x, y et 2, 

 auront tous la partie commune TxPy''z\ et ne diff"éreront donc que par un 

 facteur constant. 



Or, quand on prend toutes les dérivées m — n de x''ij''z% on trouve 

 qu'en posant p -\- q -{- r = v , la somme de tous les coefficients est 

 v{v— 1) ... [v — [m — n) + 1]. Il est seulement à remarquer que plusieurs 

 de ces dérivées, ne diff'érant que par l'ordre des diff'érentiations, sont iden- 



