SUR LES MEDIANES. lo 



et, en général, il y aura autant de points à l'inlini sur cette direction, qu'il 

 manque d'unités jusqu'à m dans le plus haut exposant de z. 



Étant donnée la surface S rapportée à trois axes quelconques, on de- 

 mande sur quelle direction elle a des points à l'infini. Il suffira de changer 

 la direction des 2 par la deuxième transformation, et d'exprimer alors que 

 le coefficient de z'" est nul. Mais les termes en z"' de la transformée ne pro- 

 viennent que des termes de degré m de S, que l'on a différentiés par rap- 

 port ax eth tj, de façon à en faire disparaître ces deux variables. Dès lors, 

 on voit aisément que le coefficient de s'", dans la transformée, est justement 

 le degré m de S où a;, y et 2 sont remplacés par c, c' et c". Cette équation étant 

 homogène en c, c' et c" , donne une relation entre les rapports — et — • 

 Par conséquent, si, par l'origine, on mène des parallèles à toutes les trans- 

 versales dont les directions satisfont à cette relation , ces droites détermine- 

 ront une surface. Pour en avoir l'équation, reprenons les éléments de la 

 transformation dun''4, x'=x-{'Cz, y' = y-{-c'z et z' = c"2; comme, dans 

 chaque transformation, on ne considère que les points situés sur le nouvel 

 axe des z, on a : x = o et y = o, d'où x' = cz, ij' = c'z et 2' = c"z. Ainsi les 

 trois coordonnées dans le système primitif sont proportionnelles àc, c' etc", 

 et peuvent y être substituées dans la relation homogène ci-dessus, qui alors 

 se réduit simplement au degré m de S. On en conclut que les directions 

 suivant lesquelles S = o a des points à l'infini, sont données par les génératrices d'un 

 cône qui est la médiane polaire d''indice zéro. 



Quand la courbe a deux points à l'infini sur la direction des z, l'équa- 

 tion ne doit contenir z qu'au degré m — 2 tout au plus. Ainsi les coefficients 

 des quatre termes 2'", xz"'"', yz""-' , 2"' ' doivent être nuls. En représentant 

 par t,„, /,„_, l'ensemble des termes de degré m ou m — 1 de S, par -^ la 

 dérivée pour x des termes de degré m, et ainsi de suite, on trouve ici 

 quatre conditions : 



"' • "'- ' dx ' dy 



que l'on peut à volonté lemplacer par 



dx ' dij dz 



