22 RECHERCHES 



être le centre de transversales formant un cône ; alors ce point est nommé 

 le centre de la courbe à double courbure résultant de l'intersection du cône 

 et de la surface. Le cône peut être un plan; alors le point est le centre 

 du plan ou de la courbe plane d'intersection. 



23. Examinons plus particulièi^ement le cas des surfaces diamétrales 

 parallèles. Les 2 étant pris suivant la direction des transversales, les deux 

 genres de centres seront donnés par les deux suites 



S = o, — = o, etc., et — =0, = o, elc. 



dz- dz dz'^ 



Or, en supposant, comme nous le faisons, que S ne puisse pas se ré- 

 soudre en facteurs , ce qui entraînerait la dégénéi'ation de la surface, on voit 

 que la première suite ne peut pas donner de surface diamétrale, sauf le 

 cas où la direction des transversales n'offre qu'une rencontre avec S, et 



alors elle est évidemment à elle-même sa diamétrale. Ainsi les surfaces dia- 



rfS rf^S 

 métrales proprement dites sont données par la suite —, —, etc. Si, dans 



S, le plus haut exposant de 2 est impair, il y a une de ces fonctions qui 

 est indépendante de z; c'est donc une constante ou un cylindre parallèle 

 aux 2; et dans les deux cas, il n'y a pas de surface diamétrale. 



L'équation devant satisfaire à — -, —, etc., on voit qu'elle ne peut 



contenir z qu'au premier degré, c'est-à-dire que toute parallèle aux trans- 

 versales ne rencontre la surface diamétrale qu'en un point. 



Ainsi il ne faut chercher de surface diamétrale que pour des directions qui ren- 

 contrent S en un nombre pair de points. L'équation de la surface doit alors satis- 

 faire aux médianes parallèles m — 1 , m — o, etc., pour cette direction. 



24. Examinons aussi le cas du centre d'une surface; plaçons en ce 

 point l'origine (n^o); il ne faut, dans la transformée, que des degrés pairs 

 ou impairs; or, le degré m ne peut disparaître, donc c'est le degré m — 1 

 qui disparaîtra. Ainsi le centre se trouve à la fois sur toutes les médianes impaires 

 de trois axes. 



Ceci donne lieu à un rapprochement. Si une surface d'ordre impair 

 présente à la fois un centre et une surface diamétrale, nous prendrons 

 le centre pour origine et les 2 suivant les transversales de la diamétrale. 



