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à ce cas-ci qu'appartiennent la théorie des tangentes et celle des points 

 multiples. 



Une transversale est dite avoir un point multiple avec la surface S = o, 

 quand plusieurs de ses intersections avec cette surface sont confondues en 

 un point. 



Quand n des m rencontres sont confondues, il résulte de la définition des mé- 

 dians que ce point doit être à la fois médian m — 1 , m — 2 — m — n + 1 

 de la transversale, puisque, par rapport à ce point, il n'y a que m — n dis- 

 tances qui ne sont pas nulles; et, réciproquement, si une rencontre de la 

 transversale avec S est à la fois médian m — 1 , m — 2 — m — n -f- 1 

 de la transversale, elle sera un point multiple d'ordre n de cette droite. 



Ainsi un point multiple n'""" sur une transvei'sale doit être situé sur 



toutes les médianes m — 1 , m — 2 >h — n -[- 1 pour des systèmes 



de transversales dont celle-ci fait partie. On en déduit en particulier : 



Les points (/e S =^ o doubles pour des transversales parallèles aux z sont à 



l'intersection des surfaces S = o , -r- = o. 

 ' (Iz 



Les points de S=o doubles pour des transversales passant par le point x', y', z' 

 sont à l'intersection des surfaces 



f/S f/S f/S 



S==o, — - (.r — a;') -(- — (î/ — y') -H — (-— r: ) = 0. 

 rtx atj a: 



Dans chacun de ces deux cas, le lieu de ces points appartient donc à 

 une suiface inférieure d'un ordre à S. 



La médiane m — - 1 parallèle, pour tout axe parallèle aux a; y, a pour 



f/S ,, f/S f. , . -, 1 



équation c — 4- c' — = o, et cette surlace passe évidemment par les 

 ^ (Ix (ly 



points communs aux médianes m — 1 suivant les x et les y. Ainsi : 



Quand un point de S est double pour deux transversales en ce point , il l'est aussi 



pour toute transversale en ce point située dans le plan des deux premières. Ce plan 



est dit alors avoir un point double avec la surface S = o. 



Quand un point de S est double pour trois transversales en ce point non situées 



dans un plan , il est double aussi pour toute transversale en ce point ; et celui-ci 



est dit point double de la surface. 



