SUR LES MEDIANES. 27 



Observations. — La première propriété démontre analytiquement que 

 toutes les tangentes en un point d'une surface algébrique constituent un 

 plan; la deuxième prouve que si trois tangentes en un point de la surface 

 ne sont pas dans un plan, toute droite passant par ce point est une tan- 

 gente; et la surface a un point double. 



L'intersection de S avec les deux médianes m — 1, dont on a les équa- 

 tions ci-dessus , sont évidemment les courbes de contact du cylindre ou 

 du cône tangent menés suivant la direction ou par le point. 



50. A propos de tangentes, il est une propriété assez curieuse qu'il 

 peut être utile de noter ici. 



Supposons deux surfaces d'ordre m, qui coupent un plan suivant une 

 même courbe, et c[ui, de plus, aient les mêmes plans tangents suivant cette 

 courbe ; alors toute transversale interceptera, à partir du plan, m segments 

 sur chacune des surfaces ; la propriété consiste en ce que la somme des m 

 segments inverses de Cune égale la somme des m segments inverses de l'autre. 



Sans développer la démonstration, qui est fort simple, il suffit de re- 

 marquer que si le plan est pi'is pour £c y et la transversale pour z , il faut , 

 d'après les conditions, que, dans les deux équations, les termes qui ne 

 contiennent pas ;- soient les mêmes. La conséquence alors est immédiate. 



Pour en prendre l'exemple le plus simple, soient un cercle et deux 

 de ses tangentes; soient joints les deux points de contact. Une trans- 

 versale quelconque coupera la droite de jonction en O, le cercle en C C, 

 les tangentes en T T'; et en faisant attention aux signes des segments, 

 on aura : 



i ^ _ ' ^ 



ûc "^ OC' "" ôï "^ ûr' 



3L On a vu que tout point de S a un plan double unique, et que, 



, , . , , rfS dS lis -, , 



pour les seuls points pour lesquels —=o, — - =o, — = o, tous les plans 



qui passent par ces points y sont doubles (*). 



Passons aux transvei'sales triples. Le point triple de la transversale 



(*) On appelle, pour abréger, droite double, plan double, la droite ou le plan qui a un point 

 double avec S. 



