28 RECHERCHES 



c, c' , c" doit satisfaire aux trois l'elalions . 



rfS , rfS „ riS 



S = o, c — -+-C — -t-c — = , 

 dx dy dz 



, rf-^S „ fi^S ,„ rf^s ^ps, f/2s ,/-2s 



c'^ -— + c'2 -— . -,- c"2 -— -f- 2cc' -— - -+- 2cc" -— - -*- ^2cc" = o. 



dx- dy- dz' dxdy dxdz dydz 



Quel que soit le point de S que l'on étudie, il a un plan double, et les x y 

 seront choisis parallèles à ce plan. 



Supposons d'abord que toutes les transversales doubles soient dans un 



plan; comme c'est parmi celles-là qu'il faut chercher celles qui sont 



• 1 ,, f'S f/S ., 



triples, on aura c'^=o, — =o, —- =o, et il reste 



^ dx dy 



ff-S rf^S d"-S 



S = c'- • -t- c'- -+- Icc' = o 



dx' dy- dxdy 



OU n" 5 



2cc' y" 



Ainsi, parmi ces transversales doubles, on en aura deux triples, une seule 

 ou aucune, suivant que 



y"2 — a' > O, = 0. < O. 



L'expression y"^^ — 6S' étant continue, il s'ensuit que, pour passer d'un 

 point de S doué de deux transversales triples à un point qui n'en a pas, 

 on doit rencontrer un point qui n'en a qu'une et qui sert de transition. 

 Ces points sont donc utiles à déterminer. A cet effet, le plan double en x, ij, z 

 étant a [x — x') -\- a' {ij — y'] + «"(^ — -') = ^5 ^t les deux directions ou axes 

 parallèles c, c' , c" et c, , c,', c,", on a les deux conditions : 



Ca -4- c'a' -t- c"j-" = 0, C,!X -\- c/;'.' -<- C,"a" = 0, 



et la relation ^"'^ — £o = o, étant appliquée à ces deux directions géné- 

 rales, devient : 



o = [cc,^-t- c'c,'C' -h c"c,"b" H- (ce,' -h c'c,)y" -t- [c'c," -t- c"c/) y -t- (c"c, ■+- cc,")y']'^ 

 — [c'S + c'^C -1- c'^S" -^- icc'y" -^- 'i.cc"y ■+- 1c"cy''] [c^f + c,'=S" -t- c/''^" -h -2c,c,' y" 



-+■ Ic^c'' y -t- 2c,"c, r']- 



Développant cette équation, en groupant ensemble les termes ë^, 66', etc., 



