SIR LES 3IED1ANES. 29 



on trouve que les coefficients ne renferment que trois espèce de facteurs 

 clc^" — c"c,', c"cy — cc^' , ce/ — c'ci proportiouncls à a, y.' , «", d'après 

 les deux premières conditions. Éliminant, il reste : 



o = «.■' {r^ — S' s") ■+- r/' {y'-' —s"s) -4- y ( /" — Cfi" ) 

 -4- 2j:3' {S" y" — yy') -t- 2x'j:" [Sy — y'y") ■+- 2y."a (C'y' — y"7)- 



Cette équation détermine sur S la courbe dont les points ont une trans- 

 versale triple. D'un côté de cette courbe, les points de S ont deux trans- 

 versales triples , de l'autre , ils n'en ont pas. 



Comme exemple simple, on peut prendre la surface 



- = [ax'^ -¥- bx -h c) y -h- dx'' -+- ex- -f- /!r -+- y. 



On a alors : ë' == o , 6" = o , / = o, 7= o, et la relation est 

 a"2y"2=o, qui se décompose en deux autres a"=o et y"=o. La première 

 est impossible , excepté quand : disparaît de l'équation , et dans ce cas, en 

 effet, on a un cylindre; la seconde donne le plan 2ax -f 6 = 0. La courbe 

 est donc plane, et même c'est une simple droite; en tout autre point de 

 la surface, il y a deux transversales triples. 



Si, dans un plan double, on suppose trois transversales triples, cela en- 

 traîne ë=o, e' = 0, y" = o, et alors toute transversale en ce point dans le 

 plan est triple; le plan lui-même est dit avoir un point triple avec S. 



Nous avons supposé les transversales doubles de la surface contenues 

 dans un plan. Si toutes les transversales en un point de S sont doubles, 

 ona a=o, a' = o, a" = 0, et il reste 



S = 0, c'e + c"?' -4- c""£" -+- 2cc'r" -+- 2c'c'V ■+- ^c"cy' = o. 



Ces directions sont celles d'un cône de second ordre. Si, en dehors de ce 

 cône, il y a d'autres transversales triples en ce point, on a 6 = 0, 6' =0, 

 S" = 0, y" = 0, etc. , et toute transversale en ce point est triple. 



52. On peut aisément pousser plus loin ce qui a été dit sur les pomts 

 multiples et faire des applications. Nous n'indiquerons ici qu'une question 

 particulière. Quand un point de S est double, on a vu que les transver- 



