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sales triples constituent un cône de second ordre. Pour que ce cône se 

 réduise ;\ deux plans, il faut que la surface 



o = Cy^ -+- e'r'" -^- C'y'"' — SS'S" — lyy'y" 



passe par le point double. D'ailleurs, cette condition est suffisante. 



55. Nous terminerons par un problème qui touche aux polaires. On 

 demande dans quel cas on peut faire passer une surface du second ordre 

 par deux courbes du même ordre. 



Quand les plans des deux courbes ne sont point parallèles, prenons- 

 les pour plans coordonnés des xz. et y;, et les deux courbes sont : 



o = «a;' -4- bxz -\- cz^ -+- dx -t- cz -t- f 

 o = jif -4- Sijz -4- yz' -i- 'j\] -t- £;ï -1- ■-, 



a, h, etc., a, ë, etc., étant des constantes. Si la surface 



o = \x" -4- \'if -H A"rr' -t- Bjjz -t- B'zx ■+- IV'xij -H Ca; -t- C'y -h C"z -4- D 



satisfait à la question, on aura les relations - =7 = ^5 qui expriment que 

 les deux points où chacune des courbes rencontre l'axe des z doivent 

 coïncider avec ceux de l'autre courbe. 



Quand les deux plans sont parallèles, les équations des courbes sont : 



y = 0, ax' -4- hxz ■+- cz^ -^ dx -^ ez -^ f = o 



y = Vi , ax^ -4- SXZ ■+■ yZ^ -4- X -4- fXr -4- 5; = o. 



Pour que la surface ci-dessus satisfasse à la question, il faut que 

 -=- = -, ce qui exprime que les points à l'infini doivent être sur les 



mêmes directions. 



Dans les deux cas , on reconnaît que généralement si une surface de 

 second ordre passe par les deux courbes, il y en a une infinité qui jouis- 

 sent de cette propriété. Dans le premier cas, le coefficient de xij est arbi- 

 traire; dans le deuxième, les coefficients de if et y sont arbitraires, mais 



A' C f 'j 



liés par la relation — i;^ -4- — /-+-- = -; A' et C étant respectivement 



^ K .\ a f. 



coefficients de y^ et y. 



