52 SUR LA THEORIE 



et 



ou bien 



(47) tf — nz'-" = -t- 2, 



dans celui de n = Si + 7. Remettant la valeur de K, et abstraction faite 

 des signes de y et z, on trouve aussi 



j'3- 



(48) M -1- 2 |/m = 2^ n sin. 



\4 H 



qui, par la séparation des termes rationnels et irrationnels, suffit à dé- 

 terminer y et z. Ainsi la possibilité des équations (4G) et (47), en nombres 

 entiers, est démontrée, et la formule (48) en donne une solution. 



Si l'on suppose que n soit de l'une des formes 4/c + 1 , A{Âk -)- 5) , 

 8 (2/i: -|- 1 ), et n'ait aucun diviseur carré impair, au lieu des formules (59) 

 et (-41), on aura les suivantes 



(49) 4X = Y2 — nZ2, Y + Z J/^= 2 n (.ï — a''), 



dont on peut faire des applications semblables. 



En effet, concevons que n soit un nombre premier 4/. -f 1 , et posons 

 x = l, a = e^^~': on aura X= _ = », et désignant par y, z les 

 valeurs correspondantes de Y, Z, on obtiendra par la première des équa- 

 tions (49) 



4h = 2/2 — »i5-. 



d'où l'on voit que y et z étant des nombres entiers, y sera divisible par 

 n; remplaçant donc y par ny, il viendra 



(50) inf — z^ = 4. 



En même temps, la deuxième équation (49) donnera ny -{- z ^n 

 = 2 n ( 1 — - à) ^ et on trouvera 



r,T 



R;r. 



»/-* X — 2V/-1 sin.—, n(l— >x^) = (— 2»/ — I). v-^^"' 



)l 



n sin — ^ d= 2 ■ • n sin. — 



