DES RESIDUS QUADRATIQUES. 33 



d'où 



-I 



j/n (yVn + 5) = 2 ' . n sin. — 



n 



supprimant le double signe, car les signes de y et - sont ici indifférents. 

 Or, n étant de la forme 4/."-j- 1, à tout résidu quadratique r de n, qui 

 soit inférieur à -, il correspondi'a un résidu quadratique n — r supérieur 



on pourra donc ne considérer que les valeurs de ?• inférieures à {»«, et 

 alors la formule précédente deviendra 



(.51) V^n (y Vn -+- ^) = 2 ^ . n sin. 



r- 

 2 . 



n 



Cette formule fournira une solution en nombres entiers, de l'équation 

 indéterminée (50), à l'aide de fonctions circulaires. 



Ces solutions trigonométriques des équations (46) et (50) ont été don- 

 nées sans démonstration par Jacobi, dans les Comptes rendus de l'Acadé- 

 mie de Berlin {Ojmsc. mathémal., vol. I, pag. 524). 



Si dans l'équation (50), les nombres y et z sont pairs, en faisant i/=2î;, 

 2 = 2m, on obtiendra u^ — nv^ = — 1. Jacobi a remarqué que lorsque 

 ces nombres sont impairs, il suffit d'élever l'équation (51) au cube pour 

 en tirer la solution de l'autre «^ — nv^ = — 1. Posons, en effet, 



(2 + j/1/h)5 ^ Il -h v[/n, 



d'où 



u = z (z"- -^ Tmtf) , v^yCâz"- -\- ny-i); 



mais l'équation (50) donne 



-.2 -f. ôny^ = 4(;^ -H 3), âz'^ -+- mf = 4.(«2 + 1 ), 



et ,2 _|_ 5^ 22 _|_ 1 seront pairs; on voit donc que u et v seront divisibles 

 par 8. D'ailleurs, nous aurons 



{z — y J/h )' = m — Il y 11 , 

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