44 SUR LA THEORIE 



tion étendue aux pq combinaisons des valeurs de li et k , on a 



n («''r' — «-'' p') = (— I )'"'■ n (^-'' /3' - a'' r*) : 

 donc les équations (65) et (66) donneront 



Cette équation renferme un lemme de M. Gauss, que j'ai démontré d'une 

 autre manière dans le § VIL En effet, concevons qu'on divise par n tous 

 les multiples mk en prenant les restes positifs ou négatifs, mais numéri- 

 quement inférieurs à | n et nommons m, le nombre des restes négatifs: 

 concevons de même qu'en divisant par m tous les multiples nli, on prenne 

 les restes numériquement inférieurs à |m, et qu'on désigne par n, le 

 nombre des restes négatifs : il est visible que l'équation (67) revient à 

 ( — 1)«. = ( — lyi. ( — 1)'"', ce qui signifie que m, + n, sera pair ou im- 

 pair comme pq. 



Si m et n sont deux nombres premiers, cela nous ramène à la loi de 



réciprocité 



I n\ 1 m 



(-] = (— ir. - 



\m/ \ n 



Faisant x=l dans l'équation (64), on obtient 



k = q 



c'est la formule dont a fait usage M. Liouville pour démontrer la loi de 

 réciprocité; elle revient à l'équation connue 



._ "_z:l 2t 4t 6-t . (« — !)- 



yri. = 2 - . sin. — sin. — sin. — ... sin. ■■ 



n n n n 



Wî — I 



M. Liouville élève les deux membres à la puissance -—^ , et omettant 

 les multiples de m, obtient 



= ( — 1 )'■'. n. 



Kml ' 1'=' \ B'—a-' 



qui exprime le caractère quadratique de n par rapport à m. En effet, 



