DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 45 



on verra par la théorie des fonctions symétriqnes, que les termes omis 

 dans le second membre sont entiers et multiples de m. On a par la 

 même raison 



(m\ '' = p /a"'' — «-"• 



et de ces expressions comparées avec l'équation (67), on lire la loi de ré- 

 ciprocité. Ce mode de démonstration, qui dispense de recourir au lemme 

 ^J = { — )"", est aussi indiqué par M. Liouville. 



Au reste, on peut, sans ce lemme, établir la formule 



(68) -=n 



m étant un entier quelconque , n un nombre premier impair qui ne divise 

 pas m, q égal à ^^—-, et /3 une racine imaginaire de l'équation x" — 1 =o. 

 Il faut se rappeler une propriété des nombres complexes ou polynômes radi- 

 caux de la forme 



A -+- A,(3 -+- X,y + ... + A,_, d'-', 



c'est-à-dire que si les coefficients A, A,, ... A„_, sont entiers, et si un 

 tel polynôme est divisible par 1 — /3, la somme de ses coefficients sera 

 divisible par n. Pour le démontrer, posons 



A + A,/3-i-A,3' -4- ... + A„_,/S"-' = {l_/3)(B4-B./3 + B,/3' + ... + B,,..^-'), 



B, B,, ... B„_, étant supposés entiers : on aura, en ordonnant, 



A-+-B„_, — B-+-(A,-+-B-B,)3-+ (A, + B, — BJ/3' -+- ... -t- (A„_, + B„_, — B„_,)/3'— = o; 



et cette équation devra, à un facteur constant K près, être identique à 

 l'autre 



1 -t- û H- /3' -H ... -I- /3"-' = o, 



car, sans cela, éliminant entre elles /5""', on obtiendrait une équation en 

 jS d'un degré inférieur à n — 1, qui serait satisfaite par les n — 1 racines 

 imaginaires de l'équation x" — l=o, et qui, par conséquent, auraitplus de 



