46 SUR LA THEORIE 



racines que n'en comporte son degré. On en déduira ainsi les n équations 

 A + B„_,-B=K, A,+B-B. = Iv, A, + B,-B, = K. ... A„_. + B„_,- B„_, = K, 



dont chacune montre que K sera un nombre entier, et dont la somme 

 donne 



A -+- A, -H A, + ... -f- A„_, = Kh. 



Soit maintenant, pour abréger, 



remplaçons dans la formule (64) (3 par /3"', qui sera aussi une racine pri- 

 mitive, et divisons l'équation résultante, membre à membre, par la même 

 équation (64) : il viendra 



et posant a;= 1 , on en déduira 1 = V^, et par suite P = p, p étant l'une 

 des racines carrées de l'unité. Mais (j>{(i'') est un polynôme radical à coeffi- 

 cients entiers, et, par conséquent, P — p est aussi un polynôme radical 

 à coefficients entiers; en outre, P- — p est divisible par 1 — ,3, puisqu'il 

 est nul; la somme des coefficients de s(/5^) est m, celle de P — p (on 



n— 1 



obtient cette somme en faisant /5=1) est m' — p, ou ni^ — p : donc 

 ni~^ — p sera divisible par n, donc l~\==p = P, ce qui est la formule (68). 

 Soit m = 2. Si k est pair, on a 



(—1)' (j* — fi-'-) = fi* — fi-'; 

 si k est impair, on a 



( - I )'■ ( 0- - 2-'- ) = p"-' — (i-'"-'> , 



et ici n — k est pair et plus grand que -, k étant < -. Étendant k à tou- 



„ ) 



tes les valeurs 1, 2, ... —5—, et multipliant, ou trouve 



(_l)'V(3_^-.) (/3-— fi-^) ... (&' — $'-) = (fi- — fi-=) (H' — p-') ... (fi-^'-fi-^«), 



